Inicialmente se presentó en el contexto del nomograma, y en particular en la "construcción nomográfica", un proceso mediante el cual se compone una función de varias variables utilizando funciones de dos variables.
El caso para funciones continuas fue resuelto en 1957 por Vladímir Arnold, cuando probó el teorema de representación de Kolmogórov-Arnold, pero la variante para funciones algebraicas sigue sin resolverse.
Para las ecuaciones de grados que desde el quinto y superiores, su irresolubilidad mediante radicales quedó establecida mediante el teorema de Abel-Ruffini.
; para n = 5 este resultado fue obtenido por Bring en 1786, y para el caso general por Gerard en 1834.
Hilbert planteó originalmente su problema para funciones algebraicas (Hilbert 1927, "... Existenz von algebraischen Funktionen ...", es decir, "... existencia de funciones algebraicas ..."; véase también Abhyankar 1997, Vitushkin 2004).
La respuesta afirmativa a esta pregunta general fue dada en 1957 por Vladímir Arnold, entonces de solo diecinueve años y estudiante de Andréi Kolmogórov.
Arnold volvió más tarde a la versión algebraica del problema, junto con Gorō Shimura (Arnold y Shimura 1976).