Teorema de dilatación de Naimark

En la teoría del operador, el teorema de dilatación de Naimark es un resultado que caracteriza las medidas positivas valoradas por el operador.se denomina medida valorada por el operador si es débilmente aditiva contablemente, es decir, para cualquier secuencia disjunta de conjuntos de BorelAlguna terminología para describir tales medidas es: es una medida de Borel regular, lo que significa que todos los conjuntos compactos tienen una variación total finita y la medida de un conjunto puede aproximarse a las de los conjuntos abiertos.Supondremos en todo momento que E es regular.Si E es regular y acotado, induce un mapaes un operador acotado para todo f, yEl LHS es y el RHS es Entonces, tomando una secuencia de funciones continuas que aumentan hasta la función indicadora de B, obtenemosEl teorema dice lo siguiente: Sea E una medida positiva con valor de L(H) en X.Existe un espacio de Hilbert K, un operador acotado, y una medida espectral autoadjunta con valor de L(K) en X, F, tal que Esbocemos ahora la prueba.El argumento pasa E al mapa inducido.Además, debido a que el dominio detal que Dado que π es un * -homomorfismo, su correspondiente medida F valorada por el operador es espectral y autoadjunta.Se ve fácilmente que F tiene las propiedades deseadas.En el caso de dimensión finita, hay una formulación algo más explícita., por lo tanto, C (X) es el álgebra de dimensión finita, y H tiene dimensión finita m. Una medida E positiva valorada por el operador asigna a cada i una matriz m × m semidefinida positivaEl teorema de Naimark ahora establece que existe una medida valorada en proyección en X cuya restricción es E.De particular interés es el caso especial cuando(Consulte el artículo sobre POVM para conocer aplicaciones relevantes).Se puede suponer sin pérdida de generalidad que cadaestá excluido y debemos tener Para la segunda posibilidad, el problema de encontrar una medida adecuada del valor de proyección se convierte ahora en el siguiente problema.Por supuesto, la matriz no cuadrada es una coisometría, es decirmatriz N donde es una matriz unitaria n × n, la medida valorada en proyección cuyos elementos son proyecciones sobre los vectores columna de U tendrá entonces las propiedades deseadas.En principio, siempre se puede encontrar tal N. En la literatura sobre física, es común ver la ortografía "Neumark" en lugar de "Naimark".La última variante corresponde a la romanización del ruso utilizada en la traducción de revistas soviéticas, con los signos diacríticos omitidos (originalmente Naĭmark).El primero es según la etimología del apellido de Mark Naimark.