En física, en la teoría de información cuántica una medida POVM (Positive operator-valued measure) es un conjunto de operadores hermíticos no negativos que actúan sobre el espacio de Hilbert que describe el sistema cuántico en cuestión.
A diferencia de las medidas PVM o proyectivas, las cuales son un caso particular de las medidas aquí tratadas, y son válidas solo para sistemas cerrados, las medidas POVM, también conocidas como medidas generalizadas, tienen en cuenta la interacción del sistema con el entorno.
He aquí la razón de su uso, ya que los sistemas cuánticos reales no son cerrados, ya sea por existencia de ruido o perturbaciones del entorno, o bien por la interacción con el aparato de medida a la hora de realizar experimentos.
Sea un espacio de Hilbert H asociado a un sistema cuántico, se define una medida POVM[1] como un conjunto de operadores hermíticos y no negativos
que verifican la relación de completitud:
, donde el subíndice m se asocia a los posibles resultados
que pueden obtenerse en la medida del observable A en cuestión.
Una propiedad destacable de estos operadores
es que no son necesariamente ortonormales y, en consecuencia, si el espacio de Hilbert en el que trabajamos tiene dimensión d, el número de operadores en la medida POVM puede ser superior a este valor, de modo que al medir podemos obtener más de d resultados posibles.
siempre pueden escribirse en términos de unos operadores
Su utilidad reside en que a través de estos operadores podemos calcular la probabilidad de obtener un resultado, así como el estado del sistema justo después de la medida.
Si el estado cuántico del sistema justo antes de realizar la medida POVM está descrito por el operador densidad
Inmediatamente después de haber realizado la medida del observable A obteniendo el resultado
, el sistema quedará en un nuevo estado descrito por el operador densidad:
Ahora bien, en muchos experimentos de física cuántica no nos interesa el resultado concreto obtenido en la medida; en estos casos, en los que desconocemos el
concreto obtenido, el sistema pasa al estado descrito por el operador:
En el caso de las medidas proyectivas los operadores
, y el nuevo estado tras medir viene descrito por:
Las medidas POVM presentan varias ventajas frente a las PVM; entre ellas se encuentran:[2]
Si se consideran dos intermediarios, Alice y Bob, que quieren mandarse un mensaje por un canal cuántico.
Ambos conocen un determinado conjunto de estados
; la tarea de Bob será identificar qué
son ortogonales, Bob podrá conseguir esto realizando una medida proyectiva.
Para ello, los operadores de medida que preparará serán los proyectores
, de modo que si Alice mandó el estado
, con lo que los estados se podrán distinguir.
no son ortogonales, Bob no podrá distinguir qué estado ha mandado Alice usando medidas proyectivas, y tendrá que recurrir a las medidas POVM.
(estados no ortogonales), Bob puede hacer una medida POVM para distinguir qué estado le ha sido enviado; esta estará formada por los operadores:
sabrá con certeza que Alice envió el estado
, no podrá decir cuál fue enviado.