El carácter lleva consigo la información esencial sobre la representación en una forma más condensada.
Esto es posible porque una representación compleja de un grupo finito está determinada (salvo isomorfismos) por su carácter.
La situación con las representaciones sobre un cuerpo de característica positiva, las llamadas "representaciones modulares", es más delicada, pero Richard Brauer también desarrolló una poderosa teoría de los caracteres en este caso.
Los caracteres de representaciones irreducibles codifican muchas propiedades importantes de un grupo y, por lo tanto, pueden utilizarse para estudiar su estructura.
El carácter de ρ es la función χρ : G → F dada por donde Tr es la traza.
Un carácter χρ se llama irreducible o simple si ρ es una representación irreductible.
El grado del carácter χ es la dimensión de ρ.
Un carácter de grado 1 se llama lineal.
Cuando G es finito y F tiene característica cero, el núcleo del carácter χρ es el subgrupo normal: que es precisamente el núcleo de la representación ρ.
Sin embargo, un carácter no es un homomorfismo de grupo en general.
el grupo cíclico con tres elementos y un generador u: donde ω es una raíz tercera primitiva de unidad.
donde la suma está extendida a todos los caracteres irreducibles χi de G y el símbolo CG(g) denota el orden del centralizador de g. Las relaciones de ortogonalidad pueden ayudar a muchos cálculos, incluyendo:
En 1964, esta pregunta se resolvió negativamente por E. C. Dade.
Suponemos que los caracteres discutidos en esta sección tienen valores complejos.
Ferdinand Georg Frobenius mostró como construir un carácter de
, utilizando lo que ahora se conoce como reciprocidad de Frobenius.
A este se le conoce como el caracter de
Esto llevó a una descripción alternativa del carácter inducido
Este carácter inducido desaparece en todos los elementos de
que no son conjugados con ningún elemento de
, ahora solo es necesario describir sus valores en elementos de
Esta descripción alternativa del carácter inducido a veces permite computación explícita, partiendo de relativamente poca información sobre la equivalencia de
se comporta restringido por un subgrupo (posiblemente diferente)
Hay una fórmula similar para la restricción de un módulo inducido a un subgrupo, que es verdadera para representaciones en cualquier anillo, y tiene aplicaciones en una amplia variedad de contextos algebraicos y topológicos.
Esta fórmula se utiliza a menudo cuando
son caracteres lineales, en cuyo caso todos los productos internos que aparezcan en la suma de la parte derecha son o 1 o 0, dependiendo de si los caracteres lineales
son ambos caracteres triviales, entonces el producto interno se simplifica como
se define precisamente para cualquier grupo como: Además, si
de la representación del grupo por la fórmula: Suponiendo que
es un álgebra compleja semisimple con un subálgebra de Cartan