Espacio afín
En matemáticas, particularmente en geometría, un espacio afín es una estructura que surge al olvidar el punto distinguido (origen) de un espacio vectorial.
[cita requerida] El resultado es una geometría en la que el espacio se presenta como una estructura matemática próxima a la del espacio vectorial.
El espacio afín puede definirse de varios modos equivalentes.
tal que se cumplan: Los elementos de
, así la propiedad 2 se escribe como: La dimensión de un espacio afín es la dimensión del espacio vectorial asociado.
Observación: Hay dos tipos de sistema de coordenadas fuertemente relacionados que pueden definirse en espacios afines.
Sea A un espacio afín de dimensión n sobre un cuerpo k, y
Las propiedades de una base afín implican que para cada x en A existe una (n + 1)-tupla
única de k elementos tal que y Las
se denominan coordenadas baricéntricas de x sobre la base afín
Si los xi se consideran cuerpos que tienen pesos (o masas)
, el punto x es, por tanto, el baricentro de los xi, y esto explica el origen del término "coordenadas baricéntricas".
Para espacios afines de dimensión infinita, se aplica la misma definición, utilizando solo sumas finitas.
(para simplificar la notación, se considera solo el caso de dimensión finita, considerando que el caso general es similar).
Para cada punto p de A, existe una secuencia única
de elementos del cuerpo base tal que o equivalentemente Las
Ejemplo: En geometría euclídea, las coordenadas cartesianas son coordenadas afines relativas a un marco ortonormal, es decir, un marco afín (o, v1, ..., vn) tal que (v1, ..., vn) es una base ortonormal.
Si son las coordenadas afines de un punto sobre el marco afín, entonces sus coordenadas baricéntricas sobre el marco baricéntrico son Por lo tanto, las coordenadas baricéntricas y afines son casi equivalentes.
En la mayoría de las aplicaciones, se prefieren las coordenadas afines, ya que involucran menos coordenadas que sean independientes.
Sin embargo, en situaciones donde los puntos importantes del problema estudiado son afínmente independientes, las coordenadas baricéntricas pueden conducir a un cálculo más simple, como en el siguiente ejemplo.
Las coordenadas baricéntricas permiten una fácil caracterización de los elementos del triángulo que no involucran ángulos ni distancias: Los vértices son los puntos de coordenadas baricéntricas (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1).
Las coordenadas baricéntricas se cambian fácilmente de una base a otra.
En consecuencia, se puede reescribir la expresión dada en la primera base como una dada en la segunda haciendo que obteniéndose las coordenadas en la segunda base como la tupla
Las coordenadas afines también se cambian fácilmente de una base a otra.
Para cada punto p de A, existe una secuencia única
Ahora, se puede reescribir la expresión en la primera base referida a la segunda como obteniéndose las coordenadas en la segunda base como la tupla
De la definición del espacio afín resultan las siguientes propiedades: Dados
queda univocamente determinado por el conjunto:[1] si cumple: Observación:
por tanto está bien definida, además ha de cumplir las dos condiciones de espacio afín: Dado un espacio afín
diremos que pertenecen a un mismo espacio
