Problema del movimiento del imán y del conductor
En él se calcula la corriente en un conductor eléctrico que se mueve con velocidad constante v con respecto a un imán en el sistema de referencia inercial del imán y en el del conductor.
La cantidad observable en el experimento, la corriente, es la misma en ambos casos, de acuerdo con el principio de relatividad básico, que establece que: "Sólo el movimiento relativo es observable; no existe un estándar de reposo absoluto".
[1][2] Sin embargo, según las ecuaciones de Maxwell, las cargas en el conductor experimentan una fuerza magnética según el sistema de referencia del imán y una fuerza eléctrica según el sistema de referencia del conductor.
Un mismo fenómeno parecería tener dos descripciones diferentes según el marco de referencia del observador.
[3] El artículo Einstein de 1905 que presentó al mundo la relatividad comienza con una descripción del problema imán/conductor:[4] Un requisito primordial sobre las descripciones en diferentes marcos de referencia es que sean consistentes.
La coherencia es un problema, porque la mecánica newtonianiana predice una transformación (la llamada invarianza galileana) para las fuerzas que impulsan las cargas y causan la corriente, mientras que la electrodinámica expresada por las ecuaciones de Maxwell predice que los campos que dan origen a estas fuerzas se transforman de manera diferente (según la invariancia de Lorentz).
Los detalles de estas transformaciones se analizan a continuación.
[5] Eso significa que la paradoja de diferentes descripciones puede ser solo semántica.
Un cuadrivector Aα = (φ / c, A) reemplaza E' y B[6] y proporciona una descripción independiente del marco de referencia (aunque menos visual que la descripción de E– B).
[7] Una unificación alternativa de descripciones es pensar en la entidad física como en un tensor de campo electromagnético, tal y como se describe más adelante.
Este tensor contiene los campos E y B como componentes y tiene la misma forma en todos los marcos de referencia.
La existencia de campos electromagnéticos clásicos se puede inferir del movimiento de partículas cargadas, cuyas trayectorias son observables.
Los campos electromagnéticos explican los movimientos observados de las partículas cargadas en la teoría clásica.
Por ejemplo, si un observador nota que una partícula choca con el centro de una diana, entonces todos los observadores deben llegar a la misma conclusión.
En el marco del conductor que se mueve con respecto al imán, el conductor experimenta una fuerza debida a un campo eléctrico.
[8] Suponiendo que el marco de referencia del imán y el marco de referencia del conductor están relacionadas entre sí por una transformación de Galileo, es sencillo calcular los campos y las fuerzas en ambos.
Esto demostrará que la corriente inducida es la misma en ambos casos.
Sin embargo, será una transformación galileana con una muy buena aproximación, a velocidades mucho menores que la de la luz.
En el marco del imán en reposo , el campo magnético es un campo fijo B(r), determinado por la estructura y forma del imán.
Aquí, sin embargo, el campo eléctrico es cero, por lo que la fuerza sobre la partícula es En el marco del conductor existe un campo magnético variable en el tiempo B′ relacionado con el campo magnético B en el marco de referencia del imán según la expresión:[10] En este marco, hay un campo eléctrico y su curvatura está dada por la ecuación de Maxwell-Faraday: Esto produce: Esto es debido a que si un conductor se mueve a través de un campo B con un gradiente
, se deduce que en el marco del conductor :
A velocidades relativistas se necesita un factor de corrección (consúltese electromagnetismo clásico y relatividad especial y la transformación de Lorentz).
Se puede presentar un argumento similar si el marco de referencia del imán también contiene campos eléctricos (la ley de Ampère también entra en juego, explicando cómo, en el marco del conductor, este campo eléctrico en movimiento contribuirá a generar un campo magnético).
En un marco de referencia que se mueve a velocidad v, el campo E en el marco en movimiento cuando no hay ningún campo E en el marco del imán estacionario, las ecuaciones de Maxwell toman la forma:[11] donde se llama Factor de Lorentz y c es la velocidad de la luz en el vacío.
En particular, todos los observadores deben ver la misma velocidad de la luz c. Ese requisito conduce a la transformación de Lorentz para el espacio y el tiempo.
La relatividad especial modifica el espacio y el tiempo de tal manera que las fuerzas y los campos se transforman consistentemente.
La fuerza de Lorentz tiene la misma forma en ambos marcos, aunque los campos difieren, a saber: De acuerdo con la Figura 1, para simplificar, considérese que el campo magnético apunte en la dirección z y varíe con la ubicación x, y que el conductor se traslade en la dirección x positiva con velocidad v.
En consecuencia, en el marco de referencia del imán donde se mueve el conductor, la fuerza de Lorentz apunta en la dirección y negativa, perpendicular tanto a la velocidad como al campo B.
La fuerza sobre una carga, aquí debida solo al campo B, es mientras que en el sistema de referencia del conductor donde se mueve el imán, la fuerza también está en la dirección y negativa, y ahora se debe solo al campo 'E con un valor: Las dos fuerzas se diferencian por el factor de Lorentz γ.
Sin embargo, esta diferencia es esperable en una teoría relativista debido al cambio en el espacio-tiempo entre sistemas de referencia inerciales, como se analiza a continuación.
