Partición plana de los enteros
(con i,j enteros y positivos) que es no creciente para ambos índices.
para todo i y j. Además solo un número finito de los
cubos unitarios sobre el punto (i, j) en el plano gausiano, resultando un sólido tridimensional como el mostrado en la imagen.
La suma describe el número de cubos que forman la partición plana.
Las particiones planas son a menudo descritas por las posiciones de los cubos unidad.
[2] El problema del carácter asintótico de las particiones planas fue resuelto por E. M.
Aquí, el error tipográfico en los artículos de Wright ha sido corregido, tras ser señalado por Mutafchiev y Kamenov.
Una demostración de esta fórmula puede encontrarse en el libro Análisis Combinatorio, por Percy A.
[6] Percy A. MacMahon también menciona en su libro Análisis Combinatorio las funciones generadoreas de planos en el artículo 429.
Percy A. MacMahon obtuvo que el número total de particiones planas en
Solo el intercambio de las primeras dos coordenadas se manifiesta en la representación mostrada a continuación.
Se muestra a continuación un ejemplo de partición plana simétrica.
Ian G. MacDonald[10] señaló que la conjetura de MacMahon se reduce a
En 1972, Edward A. Bender y Donald Knuth[12] conjeturaron una forma cerrada simple para la función generatriz para particiones con como mucho r filas y orden estrictamente decreciente en filas.
La conjetura de MacMahon fue probada casi simultáneamente por George Andrews en 1977[14] y después Ian G. MacDonald presentó una prueba alternativa.
Para una prueba del caso q = 1, pueden consultar escrito de George Andrews MacMahon's conjecture on symmetric plane partitions.
[10] En otras palabras, la partición plana es cíclicamente simétrica si siempre que (i,j,k)
A continuación, un ejemplo de partición plana cíclicamente simétrica y su visualización.
Esto significa que el diagrama es simétrico en los tres planos de la diagonal.
[20][21] Esta fórmula ya había sido mencionada en el documento de George E. Andrews Particiones planas totalmente simétricas, que se publicó en 1980.
A continuación, un ejemplo de partición plana simétrica autocomplementaria y su visualización.
Richard P. Stanley[24] conjeturó fórmulas para el total de particiones autocomplementarias.
Según Richard Stanley, David Robbins también formuló para este propósito en una forma distinta pero equivalente.
Es necesario que el producto de r,s y t sea par.
Esta figura representa el modelo expuesto, y la matriz asociada al mismo.
En una comunicación privada con Stanley, David P. Robins conjeturó que el número total de particiones planas autocomplementarias cíclicamente simétricas dada por
[21][24] El número total de particiones autocomplementarias cíclicamente simétricas viene dada por
Por ejemplo, la matriz aquí mostrada es de este tipo, acompañada por su correspondiente representación.
fue conjeturada por William H. Mills, David Robbins y Howard Rumsey en su tratado Particiones planas autocomplementarias completamente simétricas.
George Andrews demostró esta fórmula en 1994, en su tratado Particiones planas V: La conjetura TSSCPP.
