Parametrización de McCullagh de las distribuciones de Cauchy

También se extiende el rango habitual del parámetro de escala para incluir σ < 0.En particular, la densidad se puede escribir utilizando los parámetros con valores reales μ y σ , que pueden tomar valores positivos o negativos , como donde la distribución es considerada como degenerada si σ = 0.Una forma alternativa para la densidad se puede escribir utilizando el parámetro complejo θ = μ + iσ como whereA la pregunta "¿Por qué introducir los números complejos , cuando sólo variables aleatorias con valores reales están involucradas " , McCullagh escribió: { { cquote | A esta pregunta no puedo dar mejor respuesta que presentar el curioso resultado de que para todos los números reales a, b, c y d. ...la transformación inducida en el espacio de parámetros tiene la misma forma lineal fraccional que la transformación en el espacio de muestra sólo si se toma el espacio de parámetros como el plano complejo.}} En otras palabras , si la variable aleatoria Y tiene una distribución de Cauchy con el parámetro θ complejo , entonces la variable aleatoria Y * definida anteriormente tiene una distribución deCauchy con parámetro (aθ + b)/(cθ + d).