Operador covarianza

En teoría de la probabilidad, para una medida de probabilidad P en un espacio de Hilbert H con el producto interno, la covarianza de P es la forma bilineal Cov:  H × H → R dada por para todo x e y en H. El operador de covarianza C se define entonces por[1]​ A partir del teorema de representación de Riesz, dicho operador existe si Cov está acotada.Dado que la covarianza es simétrica en sus argumentos, el operador de covarianza es autoadjunto.Cuando P es una medida gaussiana centrada, C también es un operador nuclear.En particular, es un operador compacto de clase de traza, es decir, tiene traza finita.Aún más generalmente, para una medida de probabilidad P en un espacio de Banach B, la covarianza de P es la forma bilineal en el espacio dual B#, definida por dondees ahora el valor de la función lineal x en el elemento z. De manera muy similar, la función covarianza de una función de elemento aleatorio con valor de función (en casos especiales se llama proceso estocástico o campo aleatorio) z es donde z(x) es ahora el valor de la función z en el punto x, es decir, el valor de la funcional lineal{\displaystyle u\mapsto u(x)}evaluado en z. El operador covarianzadenota el valor esperado deEl operador induce una aplicación simétricaa través de, que es bilineal y definida, se llama covarianza.es un espacio de Hilbert, entonces según el teorema de representación de Riesz parase cumple que{\displaystyle \varphi (x)=\langle h,x\rangle }= ⟨ h , m ⟩, y por lo tanto para todos los