Número poligonal

Los matemáticos de la Antigüedad descubrieron que los números podían disponerse con ciertas formas cuando los representaban mediante piedras o semillas.

Si s es el número de lados de un polígono, la fórmula para el n-ésimo número s-gonal P(s,n) es o El n-ésimo número s-gonal también está relacionado con los números triangulares Tn de la siguiente manera: Por lo tanto: Para un número s-gonal dado P(s,n) = x, se puede encontrar n mediante la fórmula y a su vez se puede encontrar s calculando Aplicando la fórmula anterior: al caso de 6 lados, se obtiene: pero sabiendo que: resulta: Esto demuestra que el n-'esimo número hexagonal P(6,n) es también el (2n − 1)-ésimo número triangular T2n−1.

La siguiente tabla incluye algunas propiedades de las series definidas por los números poligonales.

Una propiedad de esta tabla se puede expresar mediante la siguiente identidad (consúltese A086270): con Algunos números, como el 36, que es tanto cuadrado como triangular, pertenece a dos conjuntos de números poligonales.

El ejemplo más simple es la secuencia de números cuadrados triangulares.

La siguiente tabla resume el conjunto de números s-gonales t-gonales para valores pequeños de s y t. En algunos casos, como s = 10 y t = 4, no hay números en ambos conjuntos distintos del 1.

El problema de encontrar números que pertenezcan a tres conjuntos poligonales es más difícil.