En 1915, Friedrich Hartogs demostró que basta con los axiomas de Zermelo-Fraenkel (es decir, no se requiere el axioma de elección) para garantizar la existencia de un mínimo ordinal mayor que un cardinal bien ordenado dado.
En particular, α es un cardinal bien ordenable o de Von Neumann, y se denota por ℵ(X).
Si X no puede ser bien ordenado, entonces ℵ(X) no es necesariamente un cardinal mayor que el cardinal de X, pero sigue siendo el mínimo cardinal que no es menor o igual a la cardinalidad de X.
Sea α = {β ∈ Ord: existe i: β → X inyectiva} la clase de los ordinales biyectables con un subconjunto de X.
Primero se debe verificar que α es un conjunto: Por último, se demuestra que α tiene las propiedades enunciadas: