Métrica de De Sitter
El espacio de De Sitter (nombrado así por Willem de Sitter[1]) es una variedad lorentziana (un espacio-tiempo) análogo a la esfera en geometría riemanniana.
, constituye un modelo cosmológico para un universo en expansión acelerada.
La métrica del espacio-tiempo ambiente es diag
Con esta definición, esta hipersuperficie coincide con la generalización a dimensión arbitraria del hiperboloide de una hoja embebido en tres dimensiones.
Sin embargo, la métrica asignada al espacio de Sitter es lorentziana, y es heredada de la métrica ambiente:
donde la métrica puede representarse introduciendo las coordenadas auxiliares
es una carta sobre la esfera de dimensión n-1, y escogemos unidades naturales c=1.
del que se habló en la sección anterior.
Las secciones espaciales obtenidas para τ = cte.
que resultan ser además hipersuperficies de Cauchy.
, En estas coordenadas, es manifiesto que el espacio de De Sitter es conforme a una porción del universo estático de Einstein, un espacio-tiempo similar a De Sitter, pero sin expansión o contracción.
La porción que cubre esta carta corresponde a T ∈ (-π/2,π/2), con lo que es manifiesto la existencia de horizontes.
Debido a esta equivalencia conforme, la ecuación de una geodésica de tipo-luz toma la forma:
Partiendo por ejemplo del polo norte de esta en el instante T=0, ningún observador puede pasar del ecuador de la esfera, puesto que es necesaria una cantidad de tiempo ΔT=π/2 para llegar a éste.
Esto refleja el hecho de que la expansión es tan rápida que puede separar dos observadores de todo contacto causal.
que cubre la mitad del hiperboloide
que corresponde a un universo en expansión eterna con curvatura espacial nula.
Puede construirse fácilmente una carta análoga para cubrir la otra mitad del hiperboloide, que corresponde sin embargo a una fase de contracción eterna.
Se puede interpretar como una solución de vacío con constante cosmológica
o bien un espacio-tiempo repleto de un fluido perfecto cuya presión y densidad satisfacen
El tensor gravitacional de Einstein Gij viene dado por:
Dada la forma sencilla del tensor de Riemann resulta muy sencillo probar directamente la forma del contenido material anterior.
es la expresión de una curva usando el sistema de referencia asociado a las coordenadas de (1) y del tiempo propio entonces esa curva será geodésica si se cumple que:
De las potencialmente 55 componentes independientes del tensor de Riemann, en las mismas coordenadas usadas en la métrica (1), el tensor de Riemann se puede escribir a partir de sola la curvatura escalar y el la métrica:
{\displaystyle R_{ijkl}={\frac {R}{12}}(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})}
El tensor de Einstein, calculado a partir del tensor de Ricci, viene dado por:
Debido a la geometría del espacio de De Sitter, el grupo de isometría resulta ser SO(1,n) , cuya dimensión es
Esta isometría se hereda del espacio-tiempo minkowskiano
, con i,j=0,1,2...n, que cumplen las reglas de conmutación:
{\displaystyle \left[M_{ij},M_{kl}\right]=-i(\eta _{ik}M_{jl}-\eta _{il}M_{jk}-\eta _{jk}M_{il}+\eta _{jl}M_{ik})}
