Límite (matemática)

En el análisis los conceptos de series convergentes, derivada e integral definida se fundamentan mediante el concepto de límite.En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada medianteSegún Hermann Hankel (1871), el concepto moderno de límite tiene su origen en la Proposición X.1 de los Elementos de Euclides, que constituye la base del Método de agotamiento encontrado en Euclides y Arquímedes: "Expuestas dos magnitudes desiguales, si de la mayor se resta una magnitud mayor que su mitad, y de la que queda una magnitud mayor que su mitad, y si este proceso se repite continuamente, entonces quedará alguna magnitud menor que la magnitud menor expuesta."[3]​ La definición moderna de límite se remonta a Bernard Bolzano quien, en 1817, desarrolló los fundamentos de la técnica épsilon-delta para definir funciones continuas.Sin embargo, su trabajo fue desconocido para otros matemáticos hasta treinta años después de su muerte.[4]​ Augustin-Louis Cauchy en 1821,[5]​ seguido por Karl Weierstrass, formalizó la definición del límite de una función que se conoció como la definición (ε, δ) de límite.Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:Este límite, si existe, se puede demostrar que es único.[8]​ Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.Coloquialmente, se dice que el límite de la función f(x) cuando x tiende a c es L , y se escribe:si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real.Esta definición se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta: Esta definición es equivalente al límite de una sucesión, una función es continua si:Si el límite primer término y el penúltimo son iguales entonces se verifican todas las igualdades.En este caso, x se llama límite de B y B se denomina filtro base convergente.Si X, Y son dos espacios topológicos y f: X → Y es una función, siendo B un filtro entorno en X de un punto a perteneciente a X, entonces el límite con respecto al filtro B de f es y, denotado como si B converge a a, luego f converge a y; dicho de otra forma, y es el límite de f en el punto a.para toda sucesión acotada de números complejos, donde se cumplen una serie de condiciones entre las que se encuentra que si[11]​ En particular, la existencia del límite de Banach no es única.se dice que "tiende al infinito" si, para cada número realA menudo ello se expresa de la siguiente maneraEs posible que una sucesión sea divergente, pero no tienda al infinito.Existe una noción correspondiente de tendencia al infinito negativo,, definida modificando la desigualdad en la definición previa aes denominada sin frontera, una definición también válida para sucesiones de números complejos, o en cualquier espacio métrico.Las secuencias que no tienden a infinito se denominan acotadas.Esta noción se utiliza en sistemas dinámicos, para estudiar los límites de las trayectorias.El conjunto límite de una trayectoria se define como sigue.Pero no es necesario que los puntos límite sean alcanzados por la trayectoria.también tiene al círculo unitario somo su conjunto límite.