En teoría de la probabilidad, existen diferentes nociones de convergencia de variables aleatorias.
La convergencia de sucesiones de variables aleatorias a una variable aleatoria límite es un concepto importante en teoría de la probabilidad, y en sus aplicaciones a la estadística y los procesos estocásticos.
Se dice que una sucesión
de variables aleatorias reales converge en distribución, o converge en ley, o converge débilmente, a una variable aleatoria
{\displaystyle X}
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
y
denotan las funciones de distribución acumulada de las variables aleatorias
La convergencia en distribución puede indicarse como:
{\displaystyle {\begin{aligned}{}\\&X_{n}\ \xrightarrow {d} \ X,\ \ X_{n}\ \xrightarrow {D} \ X,\ \ X_{n}\ \xrightarrow {L} \ X,\ \ X_{n}\ \xrightarrow {\mathcal {D}} \ X,\ \ X_{n}\ \xrightarrow {\mathcal {L}} \ X,\\&X_{n}\rightsquigarrow X,\ \ X_{n}\ \xrightarrow {d} \ {\mathcal {L}}_{X},\ \ {\mathcal {L}}(X_{n})\to {\mathcal {L}}(X),\\\\\end{aligned}}}
{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {L}}_{X}}
es la ley (distribución de probabilidad) de X.
Por ejemplo, si X es una gausiana típica o normal estándar se puede escribir
{\displaystyle X_{n}\,{\xrightarrow {d}}\,{\mathcal {N}}(0,\,1)}
de variables aleatorias reales converge en probabilidad a una variable aleatoria
Suele indicarse de alguna de estas maneras:
p
{\displaystyle X_{n}\ \xrightarrow {p} \ X,\ \ X_{n}\ \xrightarrow {P} \ X,\ \ X_{n}\ {\overset {}{\xrightarrow {\Pr } }}\ X,\ \ {\underset {n\to \infty }{\operatorname {plim} }}\,X_{n}=X.}
de variables aleatorias reales converge casi seguramente, o con probabilidad 1, a una variable aleatoria
(3)Dado un número real
, se dice que la sucesión
de variables aleatorias reales converge en
a la variable aleatoria
, si los momentos absolutos
{\displaystyle {\text{E}}(|X_{n}|^{r})}
{\displaystyle {\text{E}}(|X|^{r})}
y de
existen, y donde el operador
denota la esperanza matemática.
{\displaystyle {\overset {}{X_{n}\,{\xrightarrow {L^{r}}}\,X.}}}