Matriz invertible
En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada
se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden
, llamada matriz inversa de
es la matriz identidad de orden
Una matriz cuadrada no invertible se dice que es singular o degenerada.
Una matriz es singular si y sólo si su determinante es nulo.
se caracteriza porque su multiplicación por la matriz columna
El conjunto de estos vectores (y al subespacio vectorial formado por ellos) se llamará ker
(de kernel, núcleo en alemán), para una matriz invertible ker
, entendida como a la matriz de cofactores traspuesta.
y se prueba que la inversa es única.
Se probará la doble implicación.
Entonces al aplicar la función determinante se obtiene Utilizando la propiedad multiplicativa del determinante y sabiendo que
Supongamos que el determinante de
el elemento ij de la matriz
y, de nuevo por propiedades del determinante, sabemos que una matriz con dos filas iguales tiene determinante cero.
Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo.
Se puede hacer de la siguiente manera:[6] Esto es posible siempre y cuando
, es decir, el determinante de la matriz no es cero.
Ejemplo numérico: Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula: Donde
Cuando la matriz tiene más de tres filas, esta fórmula es muy ineficiente y conduce a largos cálculos.
Hay métodos alternativos para calcular la matriz inversa que son bastante más eficientes.
El método de eliminación de Gauss-Jordan puede utilizarse para determinar si una determinada matriz es invertible y para encontrar su inversa.
Una alternativa es la descomposición LU, que descompone una matriz dada como producto de dos matrices triangulares, una inferior y otra superior, mucho más fáciles de invertir.
Utilizando el método de Gauss-Jordan se coloca a la izquierda la matriz dada y a la derecha la matriz identidad.
Luego por medio del uso de pivotes se intenta formar en la izquierda la matriz identidad y la matriz que quede a la derecha será la matriz inversa a la dada.
El conjunto de todas las matrices
que admiten inversa es una representación lineal del grupo lineal de orden n, denotado como
Este grupo tiene importantes aplicaciones en álgebra y física.
es un conjunto abierto (con la topología inducida de
