Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales.Solo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central.Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma el límite h → 0.Viene dada por La derivada de la función f en un punto x está definida por el límite Si h tiene un valor fijado no nulo, en lugar de aproximarse a cero, el término de la derecha se convierte en Por lo tanto, la diferencia posterior dividida por h aproxima a la derivada cuando h es pequeño.Asumiendo que f es continuamente diferenciable, el error es: La misma fórmula es válida en la diferencia anterior: Sin embargo, la diferencia central lleva a una aproximación más ajustada.Su error es proporcional al cuadrado del espaciado (si f es dos veces continuamente diferenciable).La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf.El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula Donde D denota el operador derivada, que hace corresponderFormalmente, invirtiendo la exponencial, Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio.Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada.Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son De forma análoga se pueden obtener aproximaciones en diferencias finitas para derivadas de orden mayor y operadores diferenciales.en x, obtenemos la aproximación de la diferencia central de la segunda derivada de f: Otro aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientes diferenciales a medida que h se acerca a cero.Así que se pueden usar diferencias finitas para aproximar derivadas.
