Identidad de Bézout
son números enteros diferentes de cero con máximo común divisor
Dicho de otra manera, para todo
es el elemento mínimo positivo del conjunto de combinaciones lineales enteras
La identidad fue nombrada en honor del matemático francés Étienne Bézout (1730-1783).
La demostración clásica inicia considerando el conjunto de las combinaciones lineales enteras
es no vacío, pues contiene a
el mínimo elemento (positivo) de ese conjunto.
Veremos ahora que, de hecho,
y que para cualquier otro divisor común
(el cociente y el resto, respectivamente) tales que
De manera similar, se demuestra que
A este teorema lo podemos asociar con el algoritmo de Euclides, el cual es un procedimiento para poder calcular el m.c.d.
La división no es exacta: dividimos el divisor entre el resto obtenido y se continúa de esta forma hasta obtener una división exacta, siendo el último divisor el m.c.d.
El algoritmo de Euclides es un método antiguo y eficaz para calcular el máximo común divisor (MCD).
El algoritmo de Euclides extendido es una ligera modificación que permite además expresar al máximo común divisor como una combinación lineal.
Este algoritmo tiene aplicaciones en diversas áreas como álgebra, teoría de números y ciencias de la computación entre otras.
Con unas ligeras modificaciones suele ser utilizado en computadoras electrónicas debido a su gran eficiencia.
Esto se generaliza también hacia cualquier dominio euclidiano.
En cada paso, en lugar de "a dividido entre b es q y de resto r" se escribe la ecuación a = bq + r. Se despeja el resto de cada ecuación, se sustituye el resto de la última ecuación en la penúltima, y la penúltima en la antepenúltima y así sucesivamente hasta llegar a la primera ecuación, y en todo paso se expresa cada resto como combinación lineal.
Dados dos números naturales, el dividendo, m, y el divisor, d, (que debe ser mayor que cero), llamamos cociente, q al mayor de los números que multiplicado por el divisor es menor o igual que el dividendo.
Una solución de la expresión anterior es: Pero hay otras tales como: El conjunto de soluciones se puede expresar como: para cualquier valor entero de k. Dados dos números naturales m y n, coprimos entre sí, existen dos números enteros a y b tales que a • m + b • n = 1 Esta identidad se demuestra fácilmente usando por ejemplo el algoritmo de Euclides: se trata de hacer la división entera de m entre n (supongamos por ejemplo que m>n), e ir repitiendo esta división ahora entre n y el resto obtenido anteriormente, hasta llegar a resto 1.
Volviendo para atrás los pasos dados obtenemos la identidad de Bezout buscada.
Vamos a hacerlo con un ejemplo concreto: Tomemos m=30 y n=13.
Dados dos números (502,110) hallar el par x,y: Mediante el Algoritmo de Euclides expresamos la división como una combinación lineal.
Se tienen las siguientes propiedades: La identidad de Bézout no siempre es cierta para polinomios.
Sin embargo, la identidad de Bézout sí que funciona para polinomios en una variable sobre un cuerpo de la misma forma en que lo hace para los enteros.
En particular, los coeficientes de Bézout y el máximo común divisor se pueden calcular mediante el algoritmo de Euclides extendido.
Como las raíces comunes de dos polinomios son las raíces de su máximo común divisor, la identidad de Bézout y el teorema fundamental del álgebra implican el siguiente resultado:Para polinomios en una variable
El matemático francés Étienne Bézout (1730-1783) demostró esta identidad para polinomios.
El mismo resultado para enteros ya se puede encontrar en los trabajos de un matemático francés anterior, Claude Gaspard Bachet de Méziriac.
