La curva de la demanda es la representación gráfica de la relación matemática entre máxima cantidad de un determinado bien o servicios que un consumidor estaría dispuesto a comprar y su precio.El punto de intersección entre ambas curvas se conoce con el nombre de equilibrio entre la oferta y la demanda.Frecuentemente se habla de la curva de demanda como un objeto realmente existente, aunque en realidad es un objeto abstracto cuya existencia se deriva de supuestos matemáticos concretos que a veces se cumplen sólo aproximadamente.Además, la curva de demanda y sus propiedades dependen de que los consumidores presenten racionalidad perfecta, las mercancías sean infinitamente divisibles y otra serie de supuestos, que han sido criticados.Sin embargo, aun con las limitaciones que puedan imponer las abstracciones anteriores, la curva de demanda es un constructo teórico útil para comprender el comportamiento cualitativo de los mercados, y en muchos casos es una descripción empíricamente adecuada.Si para una situación concreta se consideran fijados tanto la renta disponible como los precios de n-1 productos (ceteris paribus) entonces puede proyectarse dicha hiper-superficie sobrepara construir genuinamente una curva de demanda propiamente dicha.Conviene recordar que los factores que determinan la demanda de un bien son el precio del mismo, el precio de los demás bienes, la renta personal del consumidor y también las preferencias o gustos de los individuos.Para un consumidor dado, que consume n bienes diferentes, la demanda de este consumidor de un determinado producto P dependerá no sólo de la renta disponible y sus preferencias sino también del precio de los n-1 productos que configuran su cesta de compra, sólo cuando se considera el supuesto de ceteris paribus para los mercados de los otros n-1 productos y la renta resultará una curva demanda para P únicamente dependiente del precio del producto P. La curva de demanda precio normalmente tiene una trayectoria descendente que muestra cómo, a medida que sube el precio, va descendiendo el consumo del producto.Cuando la curva de demanda se desplaza hacia la derecha, explica un aumento en la demanda debido a la variación de un factor distinto del precio, y cuando la curva se desplaza hacia la izquierda esto manifiesta una disminución en la demanda debida también a la variación de un factor distinto del precio.En un mercado con n bienes disponibles la "curva" de demanda al igual que las "curvas" son hipersuperficies de n dimensiones, y no una curva como sucede en un mercado de un único bien que no es ni complementario ni substitutivo de otros bienes.Usualmente se supone que un consumidor racional idealizado conoce de antemano la renta disponible y planifica su consumo durante un cierto período de tiempo eligiendo consumir en él una cantidad que maximiza su "satisfacción" y a la vez cumple la restricción presupuestaria de que el coste de las cantidades consumidas no supera la renta disponible.Matemáticamente eso implica encontrar el máximo de utilidad (1) sobre un cierto conjunto(que es el conjunto compatible (2) con la restricción presupuestaria): (1)puede demostrarse que el problema anterior admite una solución única para un nivel de renta y un conjunto de precios dados y, por tanto, define una función o "curva" de demanda.Además puede demostrarse sin requerirlo a priori que si las funciones de utilidad son diferenciables y convexas entonces se cumplirá la función de demandaes "decreciente" en el precio o más exactamente que:Para ello se define la función auxiliar:La función anterior tiene un máximo relativo cuando la utilidad alcanza un máximo, eso implica que se cumplen las siguientes relaciones entre utilidades marginales:a la que aplicar el teorema de la función implícita:Es fácil comprobar que si la función de utilidad es estrictamente convexa:es precisamente la función que da curva de demanda para el vector de precios y la renta disponible del consumidor.Si se incluyen algunos supuestos básicos sobre las funciones de utilidad consideradas anteriormente se puede demostrar que la curva de demanda tiene pendiente negativa, o más exactamente que para cualquier bien:Las ecuaciones anteriores se interpretan como que las cantidades demandadas de un bien deben disminuir al aumentar el precio de este, manteniéndose todo lo demás igual (es decir, manteniendo el nivel de renta y el precio del resto de bienes).La expresión (*), es más fácilmente calculable resultado por ejemplo para el primer bien: (**)Si admitimos que la utilidad marginal es estrictamente decreciente:es par el numerador es positivo y el denominador de (**) es positivo y el numerador negativo, si es impar el numerador es negativo y el denominador positivo, y por tanto en todos los casos bajo la condición anterior la expresión resulta ser negativa, y por tanto queda probado en ese caso que la curva de demanda tiene pendiente negativa.En este caso la función de utilidad y la restricción presupuestaria vendrán dadas por:La matriz jacobiana de cantidades frente a precios vendrá dada por:una cantidad negativa, suponiendo que la función de utilidad es no-decreciente y convexa[2] se tienen las condiciones:
