Fórmula de Brahmagupta

En geometría euclidiana, la fórmula de Brahmagupta (llamada así en honor al matemático indio Brahmagupta, quien la utilizó por primera vez) permite encontrar el área de cualquier cuadrilátero dadas las longitudes de los lados y algunos de los ángulos.En su formulación más común, proporciona el área de los cuadriláteros cíclicos, es decir, aquellos que se pueden inscribir en una circunferencia.La fórmula de Brahmagupta, en su expresión más simple, permite hallar el área de un cuadrilátero cuyos lados tienen longitudes a, b, c, d: donde s es el semiperímetro: Esta fórmula generaliza la fórmula de Herón para el área de un triángulo.Desde esta perspectiva, un triángulo puede ser considerado como un cuadrilátero con un lado de longitud cero; un cuadrilátero cíclico converge en un triángulo cíclico (todos los triángulos son cíclicos), y la fórmula de Brahmagupta converge en la fórmula de Herón.Si el área del cuadrilátero es A, entonces: Pero dado quePor lo tanto: Aplicando el teorema del coseno para(ya que los ángulos son suplementarios), y reordenando se obtiene: Sustituyendo esta expresión en la ecuación para el área, que es de la formay por lo tanto se puede escribir en la formacomo, La semisuma de todos los lados es igual al semiperímetro:La pareja es irrelevante: si los otros dos ángulos se toman, la mitad de su suma es el suplemento de θ.Esta fórmula general es más conocida a veces como la fórmula de Bretschneider, pero se debe aparentemente a Coolidge.[1]​ La expresión de Bretschneider es donde p y q son las longitudes de las diagonales del cuadrilátero.