Los diseños de bloques tienen aplicaciones en muchas áreas, como el diseño experimental, la geometría finita, la fisicoquímica, la pruebas de software, la criptografía y la geometría algebraica.
Sin más especificaciones, el término diseño de bloques generalmente se refiere a un diseño de bloques incompleto equilibrado (BIBD), específicamente (y también como sinónimo) a un 2-diseño, que ha sido el tipo más intensamente estudiado históricamente debido a su aplicación en el diseño experimental.
Se dice que un diseño está equilibrado (hasta t) si todos los t-subconjuntos del conjunto original aparecen en el mismo número de bloques (es decir, λ).
Cualquier diseño equilibrado hasta t también está equilibrado en todos los valores inferiores de t (aunque con diferentes valores de λ).
Cuando el requisito de equilibrio falla, un diseño aún puede estar parcialmente equilibrado si los t subconjuntos se pueden dividir en n clases, cada una con su propio valor λ (diferente).
Para t=2 estos se conocen como diseños PBIBD(n), cuyas clases forman un esquema de asociación.
También se han estudiado diseños de bloques que no necesariamente son uniformes; para t=2 se conocen en la bibliografía con el nombre general diseños equilibrados por pares (PBD).
Dado un conjunto finito X (de elementos llamados puntos) y tres números enteros k, r, λ ≥ 1, se define un 2-diseño (o BIBD, que significa diseño de bloques incompleto equilibrado) B que es una familia de subconjuntos de k elementos de X, llamados bloques, tales que cualquier x en X está contenido en r bloques, y cualquier par de puntos distintos x e y en X está contenido en λ bloques.
La estructura queda reflejada en la tabla siguiente: El diseño se denomina diseño (v, k, λ) o (v, b, r, k , λ)-diseño.
Un resultado combinatorio bastante sorprendente y no muy obvio pero sí muy general para estos diseños es que si los puntos se denotan mediante cualquier conjunto arbitrariamente elegido de números igualmente o desigualmente espaciados, no se puede elegir un conjunto que pueda formar todas las sumas en bloque (es decir, la suma de todos los puntos en un bloque dado) para obtener un mismo valor constante.
[6] Sin embargo, también se puede observar trivialmente para los cuadrados mágicos o rectángulos mágicos que pueden verse como diseños de bloques incompletos parcialmente equilibrados.
El diseño único (6,3,2) (v = 6, k = 3, λ = 2) tiene 10 bloques (b = 10) y cada elemento se repite 5 veces (r = 5).
En un diseño simétrico, r = k también se cumple que b = v y, aunque generalmente no es cierto en 2-diseños arbitrarios, en un diseño simétrico cada dos bloques distintos coinciden en λ puntos.
Para estos diseños, la ecuación de diseño simétrico se convierte en: Como k = r, se escribir el orden de un plano proyectivo como n = k − 1 y, a partir de la ecuación mostrada arriba, se obtiene que v = (n + 1)n + 1 = n2 + n + 1 puntos en un plano proyectivo de orden n. Como un plano proyectivo es un diseño simétrico, entonces b = v, lo que significa que b = n2 + n + 1 también.
Para un plano proyectivo, k es el número de puntos en cada línea y es igual a n + 1.
[11] Un biplano o geometría biplano es un 2-diseño simétrico con λ = 2; es decir, cada conjunto de dos puntos está contenido en dos bloques (líneas), mientras que dos líneas cualesquiera se cruzan en dos puntos.
Dada una matriz de Hadamard de tamaño 4a en forma estandarizada, se elimina la primera fila y la primera columna y se convierte cada −1 en 0.
Un 2-diseño resoluble es un BIBD cuyos bloques se pueden dividir en conjuntos (llamados clases paralelas), cada uno de los cuales forma una partición del conjunto de puntos del BIBD.
El conjunto de clases paralelas se denomina resolución del diseño.
Un diseño t-(v,k,1) se llama sistema de Steiner.
Debe tenerse en cuenta que los diseños derivados con respecto a diferentes puntos pueden no ser isomórficos.
Un diseño E se denomina extensión de D si E tiene un punto p tal que Ep es isomorfo a D. En consecuencia, D se denomina extensible si tiene extensión.
Se dice que un par de elementos en relación Ri son iésimo-asociados.
para todos los i, j y k. La mayoría de los autores asumen esta propiedad.
Un PBIBD(n) determina un esquema de asociación, pero lo contrario es falso.
Los bloques de un PBIBD(3) basado en A(3) son: Los parámetros de este PBIBD(3) son: v = 6, b = 8, k = 3, r = 4 y λ1 = λ2 = 2 y λ3 = 1.
Además, para el esquema de asociación se tiene que n0 = n2 = 1 y n1 = n3 = 2.
[35] Supóngase que los investigadores del cáncer de piel quieren probar tres protectores solares diferentes.
Un BIBD correspondiente puede ser generado por la función R design.bib del R-package agricolae y se especifica en la siguiente tabla: El investigador elige los parámetros v= 3, k= 2 y λ= 1 para el diseño del bloque que luego se insertan en la función R. A continuación se determinan automáticamente los parámetros restantes b y r. Usando las relaciones básicas se calcula que se necesitan b= 3 bloques, es decir, 3 personas de prueba para obtener un diseño de bloques incompleto equilibrado.
Es imposible utilizar un diseño completo (todos los tratamientos en cada bloque) en este ejemplo, porque hay tres protectores solares para probar, pero solo dos manos en cada persona.