Densidad natural

En teoría de números, la densidad natural (también conocida como densidad asintótica o densidad aritmética) es un método para medir el tamaño de un subconjunto del conjunto de los números naturales.Se basa principalmente en la probabilidad de encontrar miembros del subconjunto deseado cuando se peina el intervalo [1, n] a medida que n crece.Intuitivamente, se piensa que hay más números naturales que cuadrados perfectos, ya que todo cuadrado perfecto es positivo, y además existen muchos otros enteros positivos.Sin embargo, el conjunto de los enteros positivos no es de hecho mayor que el conjunto de los cuadrados perfectos: ambos conjuntos son infinitos y numerables y, por lo tanto, se pueden hacer corresponder elemento a elemento.Sin embargo, si se localizan en el conjunto de los números naturales, los cuadrados se vuelven cada vez más escasos.La noción de densidad natural hace que esta intuición sea precisa para muchos, pero no todos, los subconjuntos de los números naturales (véase densidad de Schnirelmann, un concepto similar al de densidad natural pero definido para todos los subconjuntos deSi se selecciona aleatoriamente un número entero del intervalo [1, n], entonces la probabilidad de que pertenezca a A es la relación entre el número de elementos de A en [1, n] y el número total de elementos en [1, n].Si esta probabilidad tiende a algún límite cuando n tiende a infinito, entonces este límite se denomina densidad asintótica de A.Esta noción puede entenderse como una especie de probabilidad de elegir un número del conjunto A.Un subconjunto A de enteros positivos tiene densidad natural α si la proporción de elementos de A entre todos los números naturales de 1 a n converge a α como n tiende a infinito.Más explícitamente, si se define para cualquier número natural n la función conteo a(n) como el número de elementos de A menores o iguales que n, entonces siendo α la densidad natural de A significa exactamente que[1]​ De la definición se sigue que si un conjunto A tiene densidad natural α, entonces 0 ≤ α ≤ 1.un subconjunto del conjunto de números naturalestambién se conoce simplemente como la densidad superior de, se define por donde lim inf es el límite inferior.Esta definición puede reformularse de la siguiente manera: si este límite existe.Si se tuviera que escribir un subconjunto decomo una secuencia creciente indexada por los números naturales entonces yUna noción algo más débil de densidad es la densidad de Banach superior: dado un conjuntoPor ejemplo, la densidad logarítmica de un conjunto A se define como el límite (si existe) Las densidades logarítmicas superior e inferior también se definen de manera análoga.Para el conjunto de múltiplos de una secuencia entera, el teorema de Davenport-Erdős establece que la densidad natural, cuando existe, es igual a la densidad logarítmica.