Para una función que toma valores en la recta real extendida, la conjugada convexa se define como donde es el producto escalar sobre Rn.
La conjugada convexa de una función es siempre semicontinua inferiormente.
Para cualquier función convexa propia f y su conjugada convexa f*, la desigualdad de Fenchel (conocida también como desigualdad de Fenchel-Young) mantiene que: Sea A una transformación lineal de Rn en Rm.
Para cualquier función convexa f sobre Rn, tenemos
donde A* es el adjunto de A definido por Una función convexa cerrada f es simétrica con respecto a un conjunto dado G de transformaciones lineales ortogonales, si y sólo si su conjugada convexa f* es simétrica con respecto a G. La convolución infimal de dos funciones f y g se define como Sean f1, …, fm funciones convexas propias sobre Rn.