Conjetura

[2]​[3]​[4]​[5]​ Una vez que se demuestra la veracidad de una conjetura, esta pasa a ser considerada un teorema de pleno derecho y puede utilizarse como tal para construir otras demostraciones formales.Hasta hace poco la conjetura más conocida era el llamado último teorema de Fermat, mal llamado así porque, aunque Pierre de Fermat afirmó haber encontrado una demostración, no se ha podido encontrar ninguna entre sus escritos tras su muerte.Esta conjetura burló a la comunidad matemática durante más de tres siglos hasta que Andrew Wiles la demostró al fin en 1993 y la elevó al rango de teorema.El teorema de los cuatro colores fue finalmente probado en 1976 por Kenneth Appel y Wolfgang Haken.Inicialmente, la demostración asistida por computadora no era factible para que un humano la verificara a mano.[12]​ Sin embargo, la demostración ha ganado desde entonces una aceptación más amplia, aunque aún quedan dudas.La conjetura establece que: La esfera cuatridimensional, también llamada 3-esfera o hiperesfera, es la única variedad compacta cuatridimensional en la que todo lazo o círculo cerrado (1-esfera) se puede deformar (transformar) en un punto.Este último enunciado es equivalente a decir que solo hay una variedad cerrada y simplemente conexa de dimensión 3: la esfera cuatridimensional.Conjeturado originalmente por Henri Poincaré, el teorema se refiere a un espacio que localmente se parece a un espacio tridimensional ordinario, pero está conectado, es de tamaño finito y carece de cualquier límite (una variedad tridimensional cerrada).La conjetura de Poincaré afirma que si tal espacio tiene la propiedad adicional de que cada bucle en el espacio puede ajustarse continuamente a un punto, entonces es necesariamente una esfera tridimensional.Más tarde, Hamilton introdujo una modificación del flujo de Ricci estándar, llamado flujo de Ricci con cirugía para extirpar sistemáticamente regiones singulares a medida que se desarrollan, de forma controlada, pero no pudo probar que este método "convergía" en tres dimensiones.Sin embargo, los matemáticos a menudo consideran que una conjetura está fuertemente respaldada por evidencia, aunque aún no haya sido probada.En el caso de este último, el primer contraejemplo encontrado para el caso n = 4 involucró números en millones, aunque posteriormente se ha encontrado que el contraejemplo mínimo es en realidad más pequeño.Por lo tanto, es posible adoptar este enunciado, o su negación, como un nuevo axioma de manera consistente (tanto como el postulado paralelo de Euclides puede tomarse como verdadero o falso en un sistema axiomático para la geometría).En este caso, si una prueba usa esta declaración, los investigadores a menudo buscarán una nueva prueba que no requiera la hipótesis (de la misma manera que es deseable que las declaraciones en geometría euclidiana se prueben usando solo los axiomas de geometría neutra, es decir, sin el postulado paralelo).La única excepción importante a esto en la práctica es el axioma de elección , ya que la mayoría de los investigadores generalmente no se preocupan si un resultado lo requiere, a menos que estén estudiando este axioma en particular.Estas se denominan demostraciones condicionales: las conjeturas asumidas aparecen en las hipótesis del teorema, por el momento.Estas "demostraciones", sin embargo, se desmoronarían si resultara que la hipótesis es falsa, por lo que existe un interés considerable en verificar la veracidad o falsedad de conjeturas de este tipo.