Centralidad de vector propio

[2]​ Intuitivamente, los nodos o actores que poseen un valor alto de esta medida de centralidad están conectados a otros nodos que a su vez son muy relevantes, en el sentido de la misma medida, o bien a muchos otros nodos, quizás menos relevantes.

Por el contrario, los nodos conectados a otros nodos periféricos o poco relevantes, tendrán una baja centralidad de vector propio.

[1]​ Por lo tanto, los actores con un alto valor para esta medida son buenos candidatos para difundir información, divulgar rumores o enfermedades, etc.

Los nodos más centrales en este sentido corresponden a centros de grandes grupos cohesivos.

[4]​ Además, este puede generalizarse tal que las entradas en la matriz de adyacencia puedan ser números reales representrando fuerzas de conexión, como en una matriz estocástica.

[5]​[6]​ Ya desde entonces, surgió el problema de qué ocurría si el rango o estatus de un actor dependía del rango de otros actores, pero el rango de dichos actores también dependían a su vez del actor inicial.Seeley (1949) fue el primero en utilizar los vectores propios del álgebra lineal para proponer una solución a este problema.

[7]​ Estas ideas fueron luego retomadas por Katz (1953),[8]​Hubbell (1965),[9]​Taylor (1969),[10]​Bonacich (1972b)[11]​ y trabajos posteriores,[12]​[13]​Coleman (1973),[14]​Burt (1982),[15]​Mizruchi et al.

[1]​ En lo que sigue, se define formalmente un grafo como un par ordenado

es su conjunto de nodos o vértices y

El número de vértices se denota como

[1]​ Hay algunas variaciones adicionales que se inspiran en la medida original para aplicaciones en dominios específicos, como es el caso de PageRank, creado originalmente para mejorar el motor de búsqueda del buscador de Google.

Adicionalmente, el mismo Katz (1953) añade un «parámetro de atenuación»

es el parámetro o factor de atenuación a una distancia

es la matriz que representa las conexiones entre nodos de la red a una distancia

[2]​ Note que el parámetro de atenuación

es un valor desconocido que debe ser estimado para cada red considerada.

La solución de este nuevo sistema corresponde al vector

el mayor autovalor de esta matriz

, Katz recomienda las siguientes cotas para el recíproco del parámetro de atenuación:

También se sugiere para la facilidad de los cálculos que

[2]​[18]​ La centralidad de Hubbell parte de la ecuación (1), pero agrega una constante a cada actor para representar su «contribución exógena» a su propio prestigio.

Esto lleva a una ecuación matricial, que puede solucionarse asumiendo ciertas restricciones, tales como que los valores de las columnas sumen

[1]​ La medida se puede definir formalmente como:[9]​ donde

es aquí un «parámetro de escala» para la resolución del sistema de ecuaciones, cuya elección depende del parámetro

[1]​ La idea es, a partir de la ecuación (1), normalizar el vector

multiplicándolo por un parámetro único, cuya mejor opción es el mayor autovalor.

se obtiene la centralidad de Katz, y si

[2]​ Para esta medida, una parte de la centralidad de un actor es «obtenida» (prestigio que consigue de otros actores) y otra parte es «reflejada» (prestigio que le retorna otros actores a los que previamente les dio prestigio).

[19]​ La centralidad alfa es una variante en que los nodos están sujetos a distinta importancia dependiendo de factores externos.

Esta medida fue definida por Bonacich y Lloyd en 2001.