Centralidad de cercanía

Se basa en calcular la suma o bien el promedio de las distancias geodésicas (o longitudes de los caminos más cortos) desde un nodo hacia todos los demás.

[3]​ Note que mientras mayor sea la «distancia» entre dos vértices, menor será la «cercanía» entre estos.

Por lo tanto, la cercanía se define como el inverso multiplicativo de la «lejanía» entre dos vértices.

[4]​ En lo que sigue, se define formalmente un grafo como un par ordenado

El número de vértices se denota como

, entonces una definición alternativa es la siguiente: Para normalizar esta medida, se considera el mayor valor posible que podría asumir la medida para un nodo.

nodos restantes; si admite bucles (y asumimos que no es un multigrafo), entonces podrá conectarse directamente con los

[7]​ También puede interpretarse como la rapidez que tomará la propagación de la información desde un nodo a todos los demás.

Este concepto es utilizado también de manera similar en topología, donde se define como un espacio métrico.

Note que en un grafo disconexo, la cercanía de todos los vértices será siempre igual a 0, dado que siempre existirá algún otro nodo para el cual la distancia geodésica con él resulta infinita.

Por lo tanto, la centralidad de cercanía tiene la desventaja de que solo se puede aplicar, en el caso de redes no dirigidas, sobre grafos conexos o componentes conexos, y para redes dirigidas, sobre componentes fuertemente conexos.

Este centro puede encontrarse fácilmente a partir de la matriz de distancias del grafo, seleccionando aquellos nodos que comparten el menor valor máximo de sus respectivas filas en la matriz.

[5]​ Un concepto relacionado muy antiguo, al menos desdeSylvester (1882), es el de centroide, más apropiado específicamente para árboles.

El centroide corresponde así al subconjunto de nodos que comparten el peso final más pequeño.

[5]​ La medida tradicional de cercanía asume que la propagación de información siempre se da en la red a través del camino más corto.

Por ello han surgido algunas variantes de esta medida como la denominada cercanía por camino aleatorio (en inglés, random-walk closeness centrality), introducida por Noh y Rieger (2004) y que considera caminos aleatorios para acceder de un nodo a los demás, en lugar de escoger siempre el camino más corto.

[10]​ Existen algunas variantes de la cercanía que permiten trabajar con grafos disconexos.

, esto es, que las distancias entre actores inaccesibles sea cero, en lugar de infinito: A esta medida actualmente se le conoce como centralidad armónica (harmonic centrality, en inglés).

[11]​ Esta medida respeta el principio general propuesto por Marchiori y Latora (2000), que dice que en grafos con distancias infinitas la media armónica se comporta mejor que la media aritmética, utilizada por la medida de cercanía tradicional.

[12]​ Esta idea es similar al factor de potencial de mercado propuesto por Harris (1954),[13]​ que actualmente se conoce como «acceso al mercado» (market access, en inglés).

[14]​ Esta idea ha reaparecido varias veces en la literatura, usualmente sin el factor de normalización

, por ejemplo por Dekker (2005) para grafos no dirigidos, bajo el nombre de centralidad valorada (valued centrality, en inglés).

[15]​ Fue axiomatizada por Garg (2009)[16]​ y propuesta nuevamente por Opsahl (2010) como solución para redes con componentes disconexos.

[18]​ Otra alternativa natural, siguiendo las ideas de Lin (1976), es considerar únicamente los nodos accesibles desde o hacia el nodo cuya centralidad se está midiendo.

es la proporción de nodos accesibles en el componente conexo, y

Para redes dirigidas, la cercanía y sus variantes se suelen centrar en caminos desde un nodo dado.

Sin embargo, también puede ser útil considerar los caminos hacia dicho nodo.

[5]​ Note que el prestigio de proximidad se puede aplicar sobre redes disconexas.

[21]​[22]​ Por otra parte,Harary (1959) define el estatus neto de un actor

Otro índice de prestigio conocido es la centralidad de vector propio, la que para cada actor considera no solo su propio prestigio, sino también el de los actores que apuntan a este.