Algoritmo de Buchberger

[1]​ Se puede ver como una generalización del algoritmo euclidiano para calcular el máximo común divisor y de la eliminación Gaussiana para sistemas lineales.A continuación se muestra una versión tosca de este algoritmo para encontrar una base para un ideal I de un anillo de polinomios R: Al polinomio Sij se le suele denominar el S-polinomio, donde S se refiere a sustracción (Buchberger) o sizigia (otros).Si los términos líderes de fi y fj no tienen variables en común, entonces Sij siempre se reducirá a 0 (si solo se usan fi y fj en la reducción), luego no es necesario calcularlo todo.El algoritmo termina porque el ideal monomial generado por los términos líderes del conjunto F aumenta en cada iteración, y el Lema de Dickson (o el Teorema de la base de Hilbert) garantiza que cualquier cadena ascendente de este tipo se estabiliza (se acaba volviendo constante).Desde su descubrimiento, se han introducido muchas variantes de Buchberger para mejorar su eficiencia.