Variable del motor

Funciones matemáticas de números complejos divididos

En matemáticas , una función de una variable motora es una función con argumentos y valores en el plano de números complejos divididos , de forma similar a como las funciones de una variable compleja involucran números complejos ordinarios . William Kingdon Clifford acuñó el término motor para un operador cinemático en su "Bosquejo preliminar de biquaternions" (1873). Utilizó números complejos divididos para escalares en sus biquaternions divididos . Aquí se utiliza variable motora en lugar de variable compleja dividida por eufonía y tradición.

Por ejemplo,

${\displaystyle f(z)=u(z)+j\ v(z),\ z=x+jy,\ x,y\in R,\quad j^{2}=+1,\quad u(z),v(z)\in R.}$

Las funciones de una variable motora proporcionan un contexto para ampliar el análisis real y proporcionar una representación compacta de las aplicaciones del plano. Sin embargo, la teoría no alcanza a la teoría de funciones en el plano complejo ordinario . No obstante, algunos de los aspectos del análisis complejo convencional tienen una interpretación dada con las variables motoras y, de manera más general, en el análisis hipercomplejo .

Funciones elementales

Sea D = , el plano complejo desdoblado. Las siguientes funciones de ejemplo f tienen dominio y rango en D : ${\displaystyle \{z=x+jy:x,y\in R\}}$

La acción de un versor hiperbólico se combina con la traducción para producir la transformación afín. ${\displaystyle u=\exp(aj)=\cosh a+j\sinh a}$

${\displaystyle f(z)=uz+c\ }$. Cuando c = 0, la función es equivalente a una función de compresión .

La función de elevar al cuadrado no tiene analogía en la aritmética compleja ordinaria. Sea

${\displaystyle f(z)=z^{2}\ }$y tenga en cuenta que ${\displaystyle f(-1)=f(j)=f(-j)=1.\ }$

El resultado es que los cuatro cuadrantes se mapean en uno, el componente identidad :

${\displaystyle U_{1}=\{z\in D:\mid y\mid <x\}}$.

Nótese que forma la hipérbola unitaria . Por lo tanto, la reciprocidad ${\displaystyle zz^{*}=1\ }$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$

${\displaystyle f(z)=1/z=z^{*}/\mid z\mid ^{2}{\text{where}}\mid z\mid ^{2}=zz^{*}}$

implica la hipérbola como curva de referencia en oposición al círculo en C.

Transformaciones fraccionarias lineales

Utilizando el concepto de una línea proyectiva sobre un anillo , se forma la línea proyectiva P( D ). La construcción utiliza coordenadas homogéneas con componentes numéricos complejos divididos. La línea proyectiva P( D ) se transforma mediante transformaciones fraccionarias lineales :

${\displaystyle [z:1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=[az+b:cz+d],}$A veces escrito

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$siempre que cz + d sea una unidad en D.

Las transformaciones fraccionarias lineales elementales incluyen

• rotaciones hiperbólicas ${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}},}$
• traducciones y ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}},}$
• La inversión ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

Cada una de ellas tiene una inversa, y las composiciones completan un grupo de transformaciones fraccionarias lineales. La variable motora se caracteriza por un ángulo hiperbólico en sus coordenadas polares, y este ángulo se conserva mediante transformaciones fraccionarias lineales de la variable motora, al igual que el ángulo circular se conserva mediante las transformaciones de Möbius del plano complejo ordinario. Las transformaciones que conservan los ángulos se denominan conformes , por lo que las transformaciones fraccionarias lineales son mapas conformes .

Las transformaciones que delimitan regiones se pueden comparar: por ejemplo, en el plano complejo ordinario, la transformada de Cayley lleva el semiplano superior al disco unitario , delimitándolo así. Una aplicación del componente de identidad U ₁ de D en un rectángulo proporciona una acción de delimitación comparable:

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z+1/2}},\quad f:U_{1}\to T}$

donde T = { z = x + j y  : | y | < x < 1 o | y | < 2 – x cuando 1 ≤ x <2}.

Para realizar las transformaciones fraccionarias lineales como biyecciones en la línea proyectiva se utiliza una compactificación de D. Véase la sección que se presenta a continuación.

Exp, logaritmo y raíz cuadrada

La función exponencial lleva todo el plano D a U ₁ :

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=\cosh x+\sinh x}$.

Por lo tanto, cuando x = b j, entonces e ^x es un versor hiperbólico. Para la variable motora general z = a + b j, se tiene

${\displaystyle e^{z}=e^{a}(\cosh b+j\ \sinh b)\ }$.

En la teoría de funciones de una variable motora se debe prestar especial atención a las funciones raíz cuadrada y logaritmo. En particular, el plano de los números complejos descompuestos consta de cuatro componentes conexos y el conjunto de puntos singulares que no tienen inversa: las diagonales z = x ± x j, x ∈ R . El componente identidad , es decir { z  : x > | y | } = U ₁ , es el rango de la función de elevación al cuadrado y la exponencial. Por lo tanto, es el dominio de las funciones raíz cuadrada y logaritmo. Los otros tres cuadrantes no pertenecen al dominio porque la raíz cuadrada y el logaritmo se definen como inversas uno a uno de la función de elevación al cuadrado y la función exponencial. ${\displaystyle \{U_{1},-U_{1},jU_{1},-jU_{1}\},}$

La descripción gráfica del logaritmo de D la dan Motter y Rosa en su artículo "Cálculo hiperbólico" (1998). ^[1]

Funciones D-holomórficas

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann que caracterizan las funciones holomorfas en un dominio del plano complejo tienen un análogo para las funciones de una variable motora. Motter y Rossa dieron un enfoque para las funciones D-holomorfas usando una derivada de Wirtinger : ^[1]

La función f = u + j v se llama D-holomórfica cuando

${\displaystyle 0\ =\ \left({\partial \over \partial x}-j{\partial \over \partial y}\right)(u+jv)=\ u_{x}-j^{2}v_{y}+j(v_{x}-u_{y}).}$

Considerando componentes reales e imaginarios, una función D-holomórfica satisface

${\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=u_{y}.}$

Estas ecuaciones fueron publicadas ^[2] en 1893 por Georg Scheffers , por lo que se han llamado condiciones de Scheffers . ^[3]

El enfoque comparable en la teoría de funciones armónicas se puede ver en un texto de Peter Duren. ^[4] Es evidente que los componentes u y v de una función D-holomórfica f satisfacen la ecuación de onda , asociada con D'Alembert , mientras que los componentes de las funciones C-holomórficas satisfacen la ecuación de Laplace .

Lecciones de La Plata

En la Universidad Nacional de La Plata, en 1935, JC Vignaux, experto en convergencia de series infinitas , contribuyó con cuatro artículos sobre la variable motora a la revista anual de la universidad. ^[5] Es el único autor del artículo introductorio, y consultó con su jefe de departamento A. Durañona y Vedia sobre los demás. En "Sobre las series de números complejos hiperbólicos" dice (p. 123):

Este sistema de números complejos hiperbólicos [variables motoras] es la suma directa de dos campos isomorfos al campo de los números reales; esta propiedad permite explicar la teoría de series y de funciones de la variable compleja hiperbólica mediante el uso de propiedades del campo de los números reales.

Luego procede, por ejemplo, a generalizar los teoremas de Cauchy, Abel, Mertens y Hardy al dominio de la variable motora.

En el artículo principal, citado a continuación, analiza las funciones D-holomorfas y la satisfacción de la ecuación de d'Alembert por sus componentes. Llama rectángulo isótropo a un rectángulo cuyos lados están en líneas isótropas y = x e y = − x . Concluye su resumen con estas palabras:

Los rectángulos isótropos juegan un papel fundamental en esta teoría ya que forman los dominios de existencia de funciones holomorfas, dominios de convergencia de series de potencias y dominios de convergencia de series funcionales.

Vignaux completó su serie con una nota de seis páginas sobre la aproximación de funciones D-holomorfas en un rectángulo isótropo unitario mediante polinomios de Bernstein . Si bien hay algunos errores tipográficos, así como un par de tropiezos técnicos en esta serie, Vignaux logró exponer las líneas principales de la teoría que se encuentra entre el análisis complejo real y el ordinario. El texto es especialmente impresionante como documento instructivo para estudiantes y profesores debido a su desarrollo ejemplar a partir de elementos. Además, toda la excursión se basa en "su relación con la geometría de Émile Borel ", de modo que respalda su motivación.

Variable birreal

En 1892 Corrado Segre recordó el álgebra de tessarinas como números bicomplejos . ^[6] Naturalmente surgió el subálgebra de tessarinas reales y pasó a llamarse números bireales .

En 1946, U. Bencivenga publicó un ensayo ^[7] sobre los números duales y los números complejos divididos, en el que utilizó el término número bireal. También describió parte de la teoría de funciones de la variable bireal. El ensayo se estudió en la Universidad de Columbia Británica en 1949, cuando Geoffrey Fox escribió su tesis de maestría "Teoría de funciones elementales de una variable hipercompleja y la teoría de la aplicación conforme en el plano hiperbólico". En la página 46, Fox informa que "Bencivenga ha demostrado que una función de una variable bireal aplica el plano hiperbólico en sí misma de tal manera que, en aquellos puntos para los que la derivada de una función existe y no se anula, los ángulos hiperbólicos se conservan en la aplicación".

G. Fox procede a proporcionar la descomposición polar de una variable birreal y analiza la ortogonalidad hiperbólica . Partiendo de una definición diferente, demuestra en la página 57

Teorema 3.42: Dos vectores son mutuamente ortogonales si y sólo si sus vectores unitarios son reflejos mutuos entre sí en una u otra de las líneas diagonales que pasan por 0.

Fox se centra en las "transformaciones bilineales" , donde las constantes birreales son constantes birreales. Para hacer frente a la singularidad, amplía el plano con un único punto en el infinito (página 73). ${\displaystyle w={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$

Entre sus novedosas contribuciones a la teoría de funciones se encuentra el concepto de sistema entrelazado . Fox demuestra que para un birreal k que satisface

( a − b ) ² < | k | < ( a + b ) ²

Las hipérbolas

| z | = a ² y | z − k | = b ²

no se intersecan (forman un sistema entrelazado). Luego demuestra que esta propiedad se conserva mediante transformaciones bilineales de una variable birreal.

Compactación

La función inversa multiplicativa es tan importante que se toman medidas extremas para incluirla en las aplicaciones de la geometría diferencial . Por ejemplo, el plano complejo se enrolla en la esfera de Riemann para la aritmética compleja ordinaria. Para la aritmética compleja dividida se utiliza un hiperboloide en lugar de una esfera: Al igual que con la esfera de Riemann, el método es la proyección estereográfica desde P = (0, 0, 1) a través de t = ( x , y , 0) hasta el hiperboloide. La línea L = Pt está parametrizada por s en de modo que pasa P cuando s es cero y t cuando s es uno. ${\displaystyle H=\{(x,y,z):z^{2}+x^{2}-y^{2}=1\}.}$ ${\displaystyle L=\{(sx,sy,1-s):s\in R\}}$

De H ∩ L se deduce que

${\displaystyle (1-s)^{2}+(sx)^{2}-(sy)^{2}=1,{\text{ so that}}\quad s={\frac {2}{1+x^{2}-y^{2}}}.}$

Si t está en el cono nulo , entonces s = 2 y (2 x , ±2 x , – 1) está en H , los puntos opuestos (2 x , ±2 x , 1) forman el cono de luz en el infinito que es la imagen del cono nulo bajo inversión.

Nótese que para t con s es negativo. La implicación es que el rayo de retorno a través de P hasta t proporciona el punto en H. Estos puntos t están por encima y por debajo de la hipérbola conjugada a la hipérbola unitaria. ${\displaystyle y^{2}>1+x^{2},}$

La compactificación debe completarse en P ³ R con coordenadas homogéneas ( w, x, y, z ) donde w = 1 especifica el espacio afín ( x, y, z ) utilizado hasta ahora. El hiperboloide H se absorbe en la cónica proyectiva que es un espacio compacto . ${\displaystyle \{(w,x,y,z)\in P^{3}R:z^{2}+x^{2}=y^{2}+w^{2}\},}$

Walter Benz realizó la compactificación utilizando una función de Hans Beck. Isaak Yaglom ilustró una compactificación de dos pasos como la anterior, pero con el plano complejo dividido tangente al hiperboloide. ^[8] En 2015, Emanuello y Nolder realizaron la compactificación primero incrustando el plano motor en un toro y luego haciéndolo proyectivo identificando puntos antípodas . ^[9]

Referencias

1. AE Motter y MAF Rosa (1998) "Cálculo hiperbólico", Avances en álgebras de Clifford aplicadas 8(1):109–28
2. Georg Scheffers (1893) "Verallgemeinerung der Grundlagen der gewohnlichen komplexen Funktionen", Sitzungsberichte Sachs. Ges. Wiss, Math-phys Klasse Bd 45 S. 828-42
3. Isaak Yaglom (1988) Felix Klein & Sophus Lie, La evolución de la idea de simetría en el siglo XIX , Birkhäuser Verlag , p. 203
4. Peter Duren (2004) Mapeos armónicos en el plano , págs. 3,4, Cambridge University Press
5. Vignaux, JC & A. Durañona y Vedia (1935) "Sobre la teoría de las funciones de una variable compleja hiperbólica", Contribución al Estudio de las Ciencias Físicas y Matemáticas , págs. 139–184, Universidad Nacional de La Plata , República Argentina
6. G. Baley Price (1991) Una introducción a los espacios y funciones multicomplejos , Marcel Dekker ISBN  0-8247-8345-X
7. Bencivenga, U. (1946) "Sulla Rappresentazione Geométrica Della Algebre Doppie Dotate Di Modulo", Atti. Accad. Ciencia. Nápoles Ser(3) v.2 No 7
8. Yaglom, Isaak M. (1979). Una geometría no euclidiana simple y su base física: una explicación elemental de la geometría galileana y el principio de relatividad galileano . Abe Shenitzer (traductor). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90332-1.
9. John A. Emanuello y Craig A. Nolder (2015) "Compactificación proyectiva de R ^1,1 y su geometría de Möbius", Análisis complejo y teoría de operadores 9(2): 329–54

• Francesco Catoni, Dino Boccaletti y Roberto Cannata (2008) Matemáticas del espacio-tiempo de Minkowski , Birkhäuser Verlag , Basilea. Capítulo 7: Funciones de una variable hiperbólica.
• Shahram Dehdasht y otros siete (2021) "Óptica hiperbólica conforme", Physical Review Research 3,033281 doi :10.1103/PhysRevResearch.3.033281