Métrica de Gödel

Solución de las ecuaciones de campo de Einstein

La métrica de Gödel , también conocida como solución de Gödel o universo de Gödel , es una solución exacta , encontrada en 1949 por Kurt Gödel , ^[1] de las ecuaciones de campo de Einstein en la que el tensor de tensión-energía contiene dos términos: el primero representa la densidad de materia de una distribución homogénea de partículas de polvo arremolinadas (ver solución de polvo ), y el segundo asociado con una constante cosmológica negativa (ver solución de Lambdavacuum ).

Esta solución tiene muchas propiedades inusuales, en particular la existencia de curvas cerradas de tipo temporal que permitirían viajar en el tiempo en un universo descrito por la solución. Su definición es un tanto artificial, ya que el valor de la constante cosmológica debe elegirse cuidadosamente para que corresponda con la densidad de los granos de polvo, pero este espacio-tiempo es un ejemplo pedagógico importante.

Definición

Como cualquier otro espacio-tiempo lorentziano , la solución de Gödel representa el tensor métrico en términos de un gráfico de coordenadas local . Puede ser más fácil entender el universo de Gödel utilizando el sistema de coordenadas cilíndricas (ver más abajo), pero este artículo utiliza el gráfico utilizado originalmente por Gödel. En este gráfico, la métrica (o, equivalentemente, el elemento de línea ) es

${\displaystyle g={\frac {1}{2\omega ^{2}}}\left[-(dt+e^{x}\,dy)^{2}+dx^{2}+{\tfrac {1}{2}}e^{2x}\,dy^{2}+dz^{2}\right],\qquad -\infty <t,x,y,z<\infty ,}$

donde es una constante real distinta de cero que da la velocidad angular de los granos de polvo circundantes sobre el eje y , medida por un observador "que no gira" montado en uno de los granos de polvo. "No gira" significa que el observador no siente fuerzas centrífugas, pero en este sistema de coordenadas, rotaría sobre un eje paralelo al eje y . En este marco giratorio, los granos de polvo permanecen en valores constantes de x , y y z . Su densidad en este diagrama de coordenadas aumenta con x , pero su densidad en sus propios marcos de referencia es la misma en todas partes. ${\displaystyle \omega }$

Propiedades

Para investigar las propiedades de la solución de Gödel, se puede suponer que el campo de marco (dual al co-marco leído a partir de la métrica como se indica arriba),

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\sqrt {2}}\omega \,\partial _{t}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{1}={\sqrt {2}}\omega \,\partial _{x}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{2}={\sqrt {2}}\omega \,\partial _{y}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{3}=2\omega \,\left(\exp(-x)\,\partial _{z}-\partial _{t}\right).}$

Este marco define una familia de observadores inerciales que se mueven en consonancia con los granos de polvo. El cálculo de las derivadas de Fermi-Walker con respecto a muestra que los marcos espaciales giran con la velocidad angular . De ello se deduce que el "marco inercial no giratorio" que se mueve en consonancia con las partículas de polvo es ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}}$ ${\displaystyle -\omega }$

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=\cos(\omega t)\,{\vec {e}}_{1}-\sin(\omega t)\,{\vec {e}}_{3}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\vec {e}}_{2}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{3}=\sin(\omega t)\,{\vec {e}}_{1}+\cos(\omega t)\,{\vec {e}}_{3}.}$

Tensor de Einstein

Los componentes del tensor de Einstein (con respecto a cada marco anterior) son

${\displaystyle G^{{\hat {a}}{\hat {b}}}=\omega ^{2}\operatorname {diag} (-1,1,1,1)+2\omega ^{2}\operatorname {diag} (1,0,0,0).}$

En este caso, el primer término es característico de una solución de vacío lambda y el segundo término es característico de una solución de polvo o fluido perfecto sin presión . La constante cosmológica se elige cuidadosamente para cancelar parcialmente la densidad de materia del polvo.

Topología

El espacio-tiempo de Gödel es un ejemplo poco común de una solución regular (sin singularidades) de las ecuaciones de campo de Einstein . El mapa original de Gödel es geodésicamente completo y no tiene singularidades. Por lo tanto, es un mapa global y el espacio-tiempo es homeomorfo a R ⁴ y, por lo tanto, simplemente conexo.

Invariantes de curvatura

En cualquier espacio-tiempo lorentziano, el tensor de Riemann de cuarto rango es un operador multilineal en el espacio de cuatro dimensiones de los vectores tangentes (en algún evento), pero un operador lineal en el espacio de seis dimensiones de los bivectores en ese evento. En consecuencia, tiene un polinomio característico , cuyas raíces son los valores propios . En el espacio-tiempo gödeliano, estos valores propios son muy simples:

• triple valor propio cero,
• doble valor propio , ${\displaystyle -\omega ^{2}}$
• valor propio único ${\displaystyle \omega ^{2}}$

Vectores de matanza

Este espacio-tiempo admite un álgebra de Lie de cinco dimensiones de vectores de Killing , que se puede generar mediante una ' traducción temporal ' , dos 'traducciones espaciales' y dos campos vectoriales de Killing más: ${\displaystyle \partial _{t}}$ ${\displaystyle \partial _{y},\;\partial _{z}}$

${\displaystyle \partial _{x}-y\,\partial _{y}}$

y

${\displaystyle -2\exp(-x)\,\partial _{t}+y\,\partial _{y}+\left(\exp(-2x)-y^{2}/2\right)\,\partial _{y}.}$

El grupo de isometría actúa de manera "transitiva" (pues podemos traducir a , y con el cuarto vector podemos desplazarnos a lo largo de ), por lo que el espacio-tiempo es "homogéneo". Sin embargo, no es "isótropo", como se puede ver. ${\displaystyle t,y,z}$ ${\displaystyle x}$

Los demostradores dados muestran que las porciones admiten un grupo de transformación tridimensional abeliano transitivo , de modo que un cociente de la solución puede reinterpretarse como una solución cilíndricamente simétrica estacionaria. Las porciones permiten una acción SL(2, R ) , y las porciones admiten una Bianchi III (cf el cuarto campo vectorial de Killing). Esto puede reescribirse como el grupo de simetría que contiene subgrupos tridimensionales con ejemplos de los tipos Bianchi I, III y VIII. Cuatro de los cinco vectores de Killing, así como el tensor de curvatura, no dependen de la coordenada y. La solución de Gödel es el producto cartesiano de un factor R con una variedad lorentziana tridimensional ( firma −++). ${\displaystyle x=x_{0}}$ ${\displaystyle y=y_{0}}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$

Se puede demostrar que, excepto la isometría local , la solución de Gödel es la única solución fluida perfecta de la ecuación de campo de Einstein que admite un álgebra de Lie de cinco dimensiones de los vectores de Killing.

Descomposición de tipo Petrov y Bel

El tensor de Weyl de la solución de Gödel tiene el tipo D de Petrov . Esto significa que, para un observador elegido adecuadamente, las fuerzas de marea son muy cercanas a las que se sentirían desde una masa puntual en la gravedad newtoniana.

Para estudiar las fuerzas de marea con más detalle, la descomposición de Bel del tensor de Riemann se puede calcular en tres partes: el tensor de marea o electrogravitatorio (que representa las fuerzas de marea), el tensor magnetogravitatorio (que representa las fuerzas de espín-espín sobre partículas de prueba giratorias y otros efectos gravitacionales análogos al magnetismo) y el tensor topogravitatorio (que representa las curvaturas seccionales espaciales).

Los observadores que se mueven con las partículas de polvo observarían que el tensor de marea (con respecto a , cuyos componentes se evaluaron en nuestro marco) tiene la forma ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle {E\left[{\vec {u}}\right]}_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=\omega ^{2}\operatorname {diag} (1,0,1).}$

Es decir, miden la tensión de marea isótropa ortogonal a la dirección distinguida . ${\displaystyle \partial _{y}}$

El tensor gravitomagnético se desvanece de forma idéntica.

${\displaystyle {B\left[{\vec {u}}\right]}_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=0.}$

Esto es un artefacto de las simetrías inusuales de este espacio-tiempo, e implica que la supuesta "rotación" del polvo no tiene los efectos gravitomagnéticos usualmente asociados con el campo gravitacional producido por la materia en rotación.

Los principales invariantes de Lorentz del tensor de Riemann son

${\displaystyle R_{abcd}\,R^{abcd}=12\omega ^{4},\;R_{abcd}{{}^{\star }R}^{abcd}=0.}$

La desaparición del segundo invariante significa que algunos observadores no miden gravitomagnetismo, lo que es coherente con lo que se acaba de decir. El hecho de que el primer invariante (el invariante de Kretschmann ) sea constante refleja la homogeneidad del espacio-tiempo de Gödel.

Rotación rígida

Los campos de marco dados anteriormente son ambos inerciales, pero el vector de vorticidad de la congruencia geodésica temporal definida por los vectores unitarios temporales es ${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}=0}$

${\displaystyle -\omega {\vec {e}}_{2}}$

Esto significa que las líneas de universo de las partículas de polvo cercanas se retuercen unas sobre otras. Además, el tensor de cizallamiento de la congruencia desaparece, por lo que las partículas de polvo exhiben una rotación rígida. ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

Efectos ópticos

Si se estudia el cono de luz pasado de un observador dado, se puede encontrar que las geodésicas nulas que se mueven ortogonalmente forman una espiral hacia el observador, de modo que si uno mira radialmente, ve los otros granos de polvo en posiciones progresivamente desfasadas en el tiempo. Sin embargo, la solución es estacionaria, por lo que podría parecer que un observador montado sobre un grano de polvo no verá los otros granos girando alrededor de sí mismo. Sin embargo, recuerde que mientras que el primer marco dado anteriormente (el ) parece estático en el gráfico, las derivadas de Fermi-Walker muestran que está girando con respecto a los giroscopios. El segundo marco (el ) parece estar girando en el gráfico, pero está giroestabilizado, y un observador inercial no giratorio montado sobre un grano de polvo verá de hecho los otros granos de polvo girando en el sentido de las agujas del reloj con velocidad angular alrededor de su eje de simetría. Resulta que, además, las imágenes ópticas se expanden y se cortan en la dirección de rotación. ${\displaystyle \partial _{y}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{j}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{j}}$ ${\displaystyle \omega }$

Si un observador inercial no giratorio mira a lo largo de su eje de simetría, ve a sus pares inerciales coaxiales no giratorios aparentemente sin girar con respecto a uno mismo, como sería de esperar.

Forma del futuro absoluto

Según Hawking y Ellis, otra característica notable de este espacio-tiempo es el hecho de que, si se suprime la coordenada y, que no es esencial, la luz emitida por un evento en la línea del universo de una partícula de polvo dada se mueve en espiral hacia afuera, forma una cúspide circular, luego se mueve en espiral hacia adentro y vuelve a converger en un evento posterior en la línea del universo de la partícula de polvo original. Esto significa que los observadores que miran ortogonalmente a la dirección pueden ver solo finitamente lejos, y también verse a sí mismos en un momento anterior. ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}}$

La cúspide es una curva nula cerrada no geodésica. (Vea la explicación más detallada a continuación utilizando un gráfico de coordenadas alternativo).

Curvas temporales cerradas

Debido a la homogeneidad del espacio-tiempo y a la torsión mutua de nuestra familia de geodésicas temporales, es más o menos inevitable que el espacio-tiempo de Gödel tenga curvas temporales cerradas (CTC). De hecho, existen CTC a través de cada evento en el espacio-tiempo de Gödel. Esta anomalía causal parece haber sido considerada como el punto central del modelo por el propio Gödel, quien aparentemente estaba tratando de demostrar que las ecuaciones de Einstein del espacio-tiempo no son consistentes con lo que intuitivamente entendemos que es el tiempo (es decir, que pasa y el pasado ya no existe, la posición que los filósofos llaman presentismo , mientras que Gödel parece haber estado defendiendo algo más parecido a la filosofía del eternalismo ). ^[2]

Einstein conocía la solución de Gödel y comentó en Albert Einstein: filósofo-científico ^[3] que si hay una serie de eventos conectados causalmente en los que "la serie está cerrada en sí misma" (en otras palabras, una curva temporal cerrada), entonces esto sugiere que no hay una buena manera física de definir si un evento dado en la serie sucedió "antes" o "después" que otro evento en la serie:

En este caso se abandona la distinción "antes-después" para puntos del mundo que se encuentran muy alejados en sentido cosmológico, y surgen aquellas paradojas respecto de la dirección de la conexión causal de las que ha hablado el Sr. Gödel.

Gödel ha encontrado soluciones cosmológicas de las ecuaciones de gravitación (con una constante A que no se anula). Será interesante sopesar si no deben excluirse por razones físicas.

Globalmente no hiperbólico

Si el espacio-tiempo de Gödel admitiera cualquier hipercorte temporal sin límites (por ejemplo, una superficie de Cauchy ), cualquier CTC de ese tipo tendría que intersecarlo un número impar de veces, contradiciendo el hecho de que el espacio-tiempo está simplemente conectado. Por lo tanto, este espacio-tiempo no es globalmente hiperbólico .

Un gráfico cilíndrico

En esta sección, presentamos otro diagrama de coordenadas para la solución de Gödel, en el que algunas de las características mencionadas anteriormente son más fáciles de ver.

Derivación

Gödel no explicó cómo llegó a su solución, pero de hecho hay muchas derivaciones posibles. Esbozaremos una aquí y, al mismo tiempo, comprobaremos algunas de las afirmaciones anteriores.

Comencemos con un marco simple en un gráfico de tipo cilíndrico , que presenta dos funciones indeterminadas de la coordenada radial:

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=\partial _{r},\,{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{b(r)}}\,\left(-a(r)\,\partial _{t}+\partial _{\varphi }\right)}$

Aquí, pensamos en el campo vectorial unitario temporal como tangente a las líneas de universo de las partículas de polvo, y sus líneas de universo exhibirán en general vorticidad distinta de cero pero expansión y cizallamiento que se desvanecen. Exijamos que el tensor de Einstein coincida con un término de polvo más un término de energía de vacío. Esto es equivalente a exigir que coincida con un fluido perfecto; es decir, exigimos que los componentes del tensor de Einstein, calculados con respecto a nuestro marco, tomen la forma ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle G^{{\hat {i}}{\hat {j}}}=\mu \operatorname {diag} (1,0,0,0)+p\operatorname {diag} (0,1,1,1)}$

Esto da las condiciones

${\displaystyle b^{\prime \prime \prime }={\frac {b^{\prime \prime }\,b^{\prime }}{b}},\;\left(a^{\prime }\right)^{2}=2\,b^{\prime \prime }\,b}$

Si introducimos estos valores en el tensor de Einstein, vemos que, de hecho, ahora tenemos . El espacio-tiempo no trivial más simple que podemos construir de esta manera evidentemente tendría este coeficiente como una función constante pero no nula de la coordenada radial. En concreto, con un poco de previsión, elijamos . Esto da ${\displaystyle \mu =p}$ ${\displaystyle \mu =\omega ^{2}}$

${\displaystyle b(r)={\frac {\sinh({\sqrt {2}}\omega \,r)}{{\sqrt {2}}\omega }},\;a(r)={\frac {\cosh({\sqrt {2}}\omega r)}{\omega }}+c}$

Por último, exijamos que este marco satisfaga

${\displaystyle {\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\varphi }+O\left({\frac {1}{r^{2}}}\right)}$

Esto da y nuestro marco se convierte en ${\displaystyle c=-1/\omega }$

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=\partial _{r},\;{\vec {e}}_{3}={\frac {{\sqrt {2}}\omega }{\sinh({\sqrt {2}}\omega r)}}\,\partial _{\varphi }-{\frac {{\sqrt {2}}\sinh({\sqrt {2}}\omega r)}{1+\cosh({\sqrt {2}}\omega r)}}\,\partial _{t}}$

Aspecto de los conos de luz

A partir del tensor métrico encontramos que el campo vectorial , que es espacial para radios pequeños, se vuelve nulo en donde ${\displaystyle \partial _{\varphi }}$ ${\displaystyle r=r_{c}}$

${\displaystyle r_{c}={\frac {\operatorname {arccosh} (3)}{{\sqrt {2}}\omega }}}$

Esto se debe a que en ese radio encontramos que y es, por lo tanto, nulo. El círculo en un t dado es una curva nula cerrada, pero no una geodésica nula. ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}={\tfrac {\omega }{2}}\,\partial _{\varphi }-\partial _{t},}$ ${\displaystyle {\tfrac {\omega }{2}}\,\partial _{\varphi }={\vec {e}}_{3}+{\vec {e}}_{0}}$ ${\displaystyle r=r_{c}}$

Examinando el marco anterior, podemos ver que la coordenada no es esencial; nuestro espacio-tiempo es el producto directo de un factor R con una variedad tridimensional de firma −++. Suprimiendo para centrar nuestra atención en esta variedad tridimensional, examinemos cómo cambia la apariencia de los conos de luz a medida que nos alejamos del eje de simetría : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle r=0}$

Dos conos de luz (con sus vectores de marco correspondientes) en el diagrama cilíndrico de la solución de polvo lambda de Gödel. A medida que nos alejamos del eje de simetría nominal, los conos se inclinan hacia adelante y se ensanchan . Las líneas de coordenadas verticales (que representan las líneas del universo de las partículas de polvo) son temporales .

Cuando llegamos al radio crítico, los conos se vuelven tangentes a la curva nula cerrada.

Una congruencia de curvas temporales cerradas

En el radio crítico , el campo vectorial se vuelve nulo. Para radios mayores, es temporal . Por lo tanto, en correspondencia con nuestro eje de simetría tenemos una congruencia temporal formada por círculos y correspondiente a ciertos observadores. Sin embargo, esta congruencia solo está definida fuera del cilindro . ${\displaystyle r=r_{c}}$ ${\displaystyle \partial _{\varphi }}$ ${\displaystyle r=r_{c}}$

No se trata de una congruencia geodésica, sino que cada observador de esta familia debe mantener una aceleración constante para mantener su rumbo. Los observadores con radios más pequeños deben acelerar más, ya que la magnitud de la aceleración diverge, que es justo lo que se espera, dado que se trata de una curva nula. ${\displaystyle r\rightarrow r_{c}}$ ${\displaystyle r=r_{c}}$

Geodésicas nulas

Si examinamos el cono de luz pasado de un evento en el eje de simetría, encontramos la siguiente imagen:

Las geodésicas nulas se mueven en espiral en sentido contrario a las agujas del reloj hacia un observador situado en el eje de simetría. Esto las muestra desde "arriba".

Recordemos que las líneas de coordenadas verticales en nuestro gráfico representan las líneas del mundo de las partículas de polvo, pero a pesar de su apariencia recta en nuestro gráfico , la congruencia formada por estas curvas tiene una vorticidad distinta de cero, por lo que las líneas del mundo en realidad giran unas sobre otras . El hecho de que las geodésicas nulas se enrosquen hacia adentro en la forma que se muestra arriba significa que cuando nuestro observador, al mirar radialmente hacia afuera , ve partículas de polvo cercanas no en sus ubicaciones actuales, sino en sus ubicaciones anteriores. Esto es lo que esperaríamos si las partículas de polvo estuvieran de hecho girando unas sobre otras.

Las geodésicas nulas son geométricamente rectas ; en la figura, parecen espirales sólo porque las coordenadas están "girando" para permitir que las partículas de polvo parezcan estacionarias.

El futuro absoluto

Según Hawking y Ellis (ver monografía citada a continuación), todos los rayos de luz emitidos desde un evento en el eje de simetría convergen nuevamente en un evento posterior en el eje, y las geodésicas nulas forman una cúspide circular (que es una curva nula, pero no una geodésica nula):

Imagen de Hawking y Ellis de la expansión y reconvergencia de la luz emitida por un observador en el eje de simetría.

Esto implica que en la solución del polvo lambda de Gödel, el futuro absoluto de cada evento tiene un carácter muy diferente de lo que ingenuamente podríamos esperar.

Interpretación cosmológica

Siguiendo a Gödel, podemos interpretar las partículas de polvo como galaxias, de modo que la solución de Gödel se convierte en un modelo cosmológico de un universo en rotación . Además de rotar, este modelo no exhibe expansión de Hubble , por lo que no es un modelo realista del universo en el que vivimos, pero puede tomarse como ilustrativo de un universo alternativo, que en principio estaría permitido por la relatividad general (si se admite la legitimidad de una constante cosmológica negativa). Las soluciones menos conocidas de Gödel exhiben tanto rotación como expansión de Hubble y tienen otras cualidades de su primer modelo, pero viajar al pasado no es posible. Según Stephen Hawking , estos modelos bien podrían ser una descripción razonable del universo que observamos , sin embargo, los datos observacionales son compatibles solo con una tasa de rotación muy baja. ^[4] La calidad de estas observaciones mejoró continuamente hasta la muerte de Gödel, y siempre preguntaba "¿El universo ya está rotando?" y le respondían "No, no lo está". ^[5]

Hemos visto que los observadores situados en el eje y (en el gráfico original) ven el resto del universo girando en el sentido de las agujas del reloj alrededor de ese eje. Sin embargo, la homogeneidad del espacio-tiempo muestra que se distingue la dirección , pero no la posición , de ese "eje".

Algunos han interpretado el universo de Gödel como un contraejemplo a las esperanzas de Einstein de que la relatividad general debería exhibir algún tipo de principio de Mach , ^[4] citando el hecho de que la materia está rotando (las líneas del mundo giran unas sobre otras) de una manera suficiente para elegir una dirección preferida, aunque sin un eje de rotación distinguido.

Otros ^{[ cita requerida ]} toman el principio de Mach como una ley física que vincula la definición de los marcos inerciales no giratorios en cada evento con la distribución global y el movimiento de la materia en todas partes del universo, y dicen que debido a que los marcos inerciales no giratorios están precisamente vinculados a la rotación del polvo de la misma manera que un principio de Mach sugeriría, este modelo concuerda con las ideas de Mach.

Se conocen muchas otras soluciones exactas que pueden interpretarse como modelos cosmológicos de universos en rotación. ^[6]

Véase también

• Polvo de van Stockum , para otra solución de polvo rotatorio con simetría cilíndrica (verdadera),
• Solución de polvo , un artículo sobre soluciones de polvo en relatividad general.

Referencias

1. Gödel, K., "Un ejemplo de un nuevo tipo de soluciones cosmológicas de las ecuaciones de campo de gravitación de Einstein", Rev. Mod. Phys. 21 , 447, publicado el 1 de julio de 1949.
2. Yourgrau, Palle (2005). Un mundo sin tiempo: el legado olvidado de Gödel y Einstein . Nueva York: Basic Books. ISBN 0465092942.
3. Einstein, Albert (1949). «Einstein's Reply to Criticisms». Albert Einstein: Philosopher-Scientist . Cambridge University Press . Consultado el 29 de noviembre de 2012 .
4. SW Hawking, Nota introductoria a 1949 y 1952 en Kurt Gödel, Obras completas , Volumen II (S. Feferman et al., eds).
5. Reflexiones sobre Kurt Gödel , por Hao Wang, MIT Press, (1987), p. 183.
6. Shepley, Lawrence; Ryan, Michael. Cosmologías relativistas homogéneas .

Notas

• G. Dautcourt y M. Abdel-Megied (2006). "Revisitando el cono de luz del universo de Gödel". Gravedad clásica y cuántica . 23 (4): 1269–1288. arXiv : gr-qc/0511015 . Código Bibliográfico :2006CQGra..23.1269D. doi :10.1088/0264-9381/23/4/013. S2CID  14666907.
• Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Herlt, Eduard (2003). Soluciones exactas a las ecuaciones de campo de Einstein (2.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46136-7.Consulte la sección 12.4 para conocer el teorema de unicidad.
• Hawking, Stephen; Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4.Véase la sección 5.7 para una discusión clásica de los CTC en el espacio-tiempo de Gödel. Advertencia: en la Fig. 31, los conos de luz sí se inclinan, pero también se ensanchan, de modo que las líneas de coordenadas verticales son siempre temporales; de hecho, estas representan las líneas del universo de las partículas de polvo, por lo que son geodésicas temporales.
• Gödel, K. (1949). "Un ejemplo de un nuevo tipo de solución cosmológica de las ecuaciones de campo de la gravitación de Einstein". Rev. Mod. Phys . 21 (3): 447–450. Bibcode :1949RvMP...21..447G. doi : 10.1103/RevModPhys.21.447 .
• El universo de Gödel en arxiv.org.
• Vukovic R. (2014): Modelo tensorial del universo en rotación, ejercicio de relatividad especial Archivado el 13 de noviembre de 2014 en Wayback Machine .