polvo de van Stockum

Solución exacta de las ecuaciones de campo de Einstein

En la relatividad general , el polvo de van Stockum es una solución exacta de las ecuaciones de campo de Einstein en las que el campo gravitatorio es generado por el polvo que gira alrededor de un eje de simetría cilíndrica. Dado que la densidad del polvo aumenta con la distancia a este eje, la solución es bastante artificial, pero como es una de las soluciones más simples conocidas en la relatividad general, constituye un ejemplo pedagógico importante.

Esta solución debe su nombre a Willem Jacob van Stockum , quien la redescubrió en 1938 independientemente de un descubrimiento mucho anterior realizado por Cornelius Lanczos en 1924. Actualmente se recomienda que la solución se denomine polvo de Lanczos-van Stockum.

Derivación

Una forma de obtener esta solución es buscar una solución fluida perfecta y cilíndricamente simétrica en la que el fluido exhiba una rotación rígida . Es decir, exigimos que las líneas de universo de las partículas del fluido formen una congruencia temporal que tenga una vorticidad distinta de cero pero una expansión y una cizalladura que se desvanezcan. (De hecho, dado que las partículas de polvo no sienten fuerzas, esto resultará ser una congruencia geodésica temporal , pero no necesitaremos suponerlo de antemano).

Un argumento simple correspondiente a esta demanda se expresa mediante el siguiente campo de marco , que contiene dos funciones indeterminadas de : ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=f(r)\,\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=f(r)\,\partial _{r},\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\varphi }-h(r)\,\partial _{t}}$

Para evitar malentendidos, debemos enfatizar que tomar el coframe dual

${\displaystyle \sigma ^{0}=dt+h(r)r\,d\varphi ,\;\sigma ^{1}={\frac {1}{f(r)}}\,dz,\;\sigma ^{2}={\frac {1}{f(r)}}\,dr,\;\sigma ^{3}=rd\varphi }$

da el tensor métrico en términos de las mismas dos funciones indeterminadas:

${\displaystyle g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}+\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{3}}$

Al multiplicar obtenemos

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}-2h(r)r\,dt\,d\varphi +(1-h(r)^{2})r^{2}\,d\varphi ^{2}+{\frac {dz^{2}+dr^{2}}{f(r)^{2}}}}$

${\displaystyle -\infty <t,z<\infty ,\;0<r<\infty ,\;-\pi <\varphi <\pi }$

Calculamos el tensor de Einstein con respecto a este marco, en términos de las dos funciones indeterminadas, y exigimos que el resultado tenga la forma apropiada para una solución fluida perfecta con el vector unitario temporal tangente en todas partes a la línea del universo de una partícula fluida. Es decir, exigimos que ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle G^{{\hat {m}}{\hat {n}}}=8\pi \mu \operatorname {diag} (1,0,0,0)+8\pi p\operatorname {diag} (0,1,1,1)}$

Esto da las condiciones

${\displaystyle f^{\prime \prime }={\frac {(f^{\prime })^{2}}{f}}+{\frac {f^{\prime }}{r}},\;(h^{\prime })^{2}+{\frac {2h^{\prime }h}{r}}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}={\frac {4f^{\prime }}{rf}}}$

Resolviendo para y luego para se obtiene el marco deseado que define la solución de van Stockum: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=\exp(a^{2}r^{2}/2)\,\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=\exp(a^{2}r^{2}/2)\,\partial _{r},\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\phi }-ar\,\partial _{t}}$

Tenga en cuenta que este marco solo está definido en . ${\displaystyle r>0}$

Propiedades

Calculando el tensor de Einstein con respecto a nuestro marco se muestra que, de hecho, la presión se desvanece , por lo que tenemos una solución de polvo . La densidad de masa del polvo resulta ser

${\displaystyle \mu ={\frac {a^{2}}{2\pi }}\exp(a^{2}r^{2})}$

Afortunadamente, esto es finito en el eje de simetría , pero la densidad aumenta con el radio, una característica que lamentablemente limita severamente las posibles aplicaciones astrofísicas. ${\displaystyle r=0}$

La solución de las ecuaciones de Killing muestra que este espacio-tiempo admite un álgebra de Lie abeliana tridimensional de campos vectoriales de Killing , generados por

${\displaystyle {\vec {\xi }}_{1}=\partial _{t},\;{\vec {\xi }}_{2}=\partial _{z},\;{\vec {\xi }}_{3}=\partial _{\phi }}$

Aquí, tiene vorticidad distinta de cero, por lo que tenemos un espacio-tiempo estacionario invariante bajo la traslación a lo largo de las líneas del mundo de las partículas de polvo, y también bajo la traslación a lo largo del eje de simetría cilíndrica y rotación alrededor de ese eje. ${\displaystyle {\vec {\xi }}_{1}}$

Obsérvese que, a diferencia de la solución de polvo de Gödel , en el polvo de van Stockum las partículas de polvo giran alrededor de un eje geométricamente distinguido .

Como se prometió, la expansión y el corte de la congruencia geodésica temporal desaparecen, pero el vector de vorticidad es ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle {\vec {\Omega }}=-a\exp(a^{2}r^{2}/2){\vec {e}}_{1}}$

Esto significa que, aunque en nuestro mapa de comovimiento las líneas de universo de las partículas de polvo aparecen como líneas verticales, en realidad se están retorciendo unas sobre otras a medida que las partículas de polvo giran alrededor del eje de simetría. En otras palabras, si seguimos la evolución de una pequeña bola de polvo, encontramos que gira sobre su propio eje (paralelo a ), pero no se corta ni se expande; estas últimas propiedades definen lo que queremos decir con rotación rígida . Observe que en el eje mismo, la magnitud del vector de vorticidad se convierte simplemente en . ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle a}$

El tensor de marea es

${\displaystyle E_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=a^{2}\exp(a^{2}r^{2})\operatorname {diag} (0,1,1)}$

lo que demuestra que los observadores que viajan sobre las partículas de polvo experimentan una tensión de marea isótropa en el plano de rotación. El tensor magnetogravitatorio es

${\displaystyle B_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=-a^{3}\exp(a^{2}r^{2})\left[{\begin{matrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{matrix}}\right]}$

Una aparente paradoja

Consideremos un experimento mental en el que un observador que viaja sobre una partícula de polvo y se sienta en el eje de simetría observa partículas de polvo con coordenadas radiales positivas. ¿Ve que están girando o no?

Dado que la matriz superior de geodésicas nulas se obtiene simplemente trasladando hacia arriba la matriz inferior, y dado que las tres líneas del mundo son todas verticales (invariantes bajo la traslación temporal ), podría parecer que la respuesta es "no". Sin embargo, aunque el marco dado anteriormente es un marco inercial , el cálculo de las derivadas covariantes

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{1},\;\nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{2},\;\nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{3}}$

muestra que sólo el primero se desvanece de manera idéntica. En otras palabras, los vectores espaciales restantes giran alrededor ( es decir, alrededor de un eje paralelo al eje de simetría cilíndrica de este espacio-tiempo). ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}}$

Por lo tanto, para obtener un marco inercial no giratorio, necesitamos hacer girar nuestro marco original, de esta manera:

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\vec {e}}_{0},\;{\vec {f}}_{1}={\vec {e}}_{1},\;{\vec {f}}_{2}=\cos(\theta ){\vec {e}}_{2}+\sin(\theta ){\vec {e}}_{3},\;{\vec {f}}_{3}=-\sin(\theta ){\vec {e}}_{2}+\cos(\theta ){\vec {e}}_{3}}$

donde q es una nueva función indeterminada de r. Sustituyendo el requisito de que las derivadas covariantes se anulen, obtenemos ${\displaystyle \theta =tq(r)}$

${\displaystyle \theta =at\exp(a^{2}r^{2}/2)}$

El nuevo marco parece, en nuestro diagrama de coordenadas comóviles, estar girando, pero en realidad está giroestabilizado. En particular, dado que nuestro observador con la línea de universo verde en la figura presumiblemente está montado sobre una partícula de polvo que no gira (de lo contrario, las fuerzas de giro-giro serían evidentes en la dinámica del polvo), de hecho observa que las partículas de polvo cercanas separadas radialmente giran en el sentido de las agujas del reloj alrededor de su ubicación con una velocidad angular a. Esto explica el significado físico del parámetro que encontramos en nuestra derivación anterior del primer marco.

( Nota pedante: los lectores atentos habrán notado que ignoramos el hecho de que ninguno de nuestros campos de marco está bien definido en el eje. Sin embargo, podemos definir un marco para un observador en el eje mediante un límite unilateral apropiado; esto da un campo de marco discontinuo, pero solo necesitamos definir un marco a lo largo de la línea del mundo de nuestro observador en el eje para continuar con el experimento mental considerado en esta sección).

Vale la pena señalar que las geodésicas nulas se mueven en espiral hacia adentro en la figura anterior. Esto significa que nuestro observador en el eje ve las otras partículas de polvo en ubicaciones con desfase temporal , que es, por supuesto, justo lo que esperaríamos. El hecho de que las geodésicas nulas aparezcan "dobladas" en este gráfico es, por supuesto, un artefacto de nuestra elección de coordenadas comóviles en las que las líneas del universo de las partículas de polvo aparecen como líneas de coordenadas verticales.

Una auténtica paradoja

Dibujemos los conos de luz para algunos eventos típicos en el polvo de van Stockum, para ver cómo su apariencia (en nuestro diagrama cilíndrico comóvil) depende de la coordenada radial:

Como muestra la figura ^{[ ¿cuál? ]} , en , los conos se vuelven tangentes al plano de coordenadas y obtenemos una curva nula cerrada (el círculo rojo). Nótese que no se trata de una geodésica nula. ${\displaystyle r=a^{-1}}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$

A medida que nos alejamos más, podemos ver que los círculos horizontales con radios mayores son curvas temporales cerradas . La naturaleza paradójica de estas CTC fue aparentemente señalada por primera vez por van Stockum: los observadores cuyas líneas del mundo forman una curva temporal cerrada aparentemente pueden revisitar o afectar su propio pasado. Peor aún, aparentemente no hay nada que impida que un observador así decida, en su tercera vida, por ejemplo, dejar de acelerar, lo que le daría múltiples biografías.

Estas curvas temporales cerradas no son geodésicas temporales, por lo que estos observadores paradójicos deben acelerar para experimentar estos efectos. De hecho, como cabría esperar, la aceleración requerida diverge a medida que estos círculos temporales se aproximan a los círculos nulos que se encuentran en el cilindro crítico . ${\displaystyle r=a^{-1}}$

Resulta que existen curvas temporales cerradas en muchas otras soluciones exactas de la relatividad general, y su aparición común es una de las objeciones teóricas más preocupantes a esta teoría. Sin embargo, muy pocos físicos se niegan a utilizar la relatividad general en base a tales objeciones; más bien, la mayoría adopta la actitud pragmática de que el uso de la relatividad general tiene sentido siempre que se pueda, debido a la relativa simplicidad y la fiabilidad bien establecida de esta teoría en muchas situaciones astrofísicas. Esto no es diferente del hecho de que muchos físicos utilizan la mecánica newtoniana todos los días, a pesar de que son muy conscientes de que la cinemática galileana ha sido "derrocada" por la cinemática relativista.

Véase también

• Solución de polvo
• Solución de polvo de Gödel

Referencias

• Lanczos, Cornelio (1924). "Über eine stationäre Kosmologie im Sinne der Einsteinschen Gravitationstheorie". Zeitschrift für Physik . 21 (1): 73-110. Código bibliográfico : 1924ZPhy...21...73L. doi :10.1007/BF01328251. S2CID  122902359. Artículo de Lanczos anunciando el primer descubrimiento de esta solución.
• van Stockum, Willem Jacob (1937). "El campo gravitacional de una distribución de partículas que giran alrededor de un eje de simetría". Proc. R. Soc. Edimburgo A. 57 : 135.Artículo de Van Stockum anunciando su redescubrimiento de esta solución.