Solución de polvo

Clase de soluciones exactas a las ecuaciones de campo de Einstein

En la relatividad general , una solución de polvo es una solución fluida , un tipo de solución exacta de la ecuación de campo de Einstein , en la que el campo gravitacional se produce enteramente por la masa, el momento y la densidad de tensión de un fluido perfecto que tiene una densidad de masa positiva pero una presión que se desvanece . Las soluciones de polvo son un caso especial importante de soluciones fluidas en la relatividad general.

Modelo de polvo

Un fluido perfecto y sin presión puede interpretarse como un modelo de una configuración de partículas de polvo que se mueven localmente en concierto e interactúan entre sí solo gravitacionalmente, de donde se deriva el nombre. Por esta razón, los modelos de polvo se emplean a menudo en cosmología como modelos de un universo de juguete, en el que las partículas de polvo se consideran modelos altamente idealizados de galaxias, cúmulos o supercúmulos. En astrofísica , los modelos de polvo se han empleado como modelos de colapso gravitacional . Las soluciones de polvo también se pueden utilizar para modelar discos giratorios finitos de granos de polvo; a continuación se enumeran algunos ejemplos. Si se superpone de alguna manera en un modelo estelar que comprende una bola de fluido rodeada de vacío, una solución de polvo podría usarse para modelar un disco de acreción alrededor de un objeto masivo; sin embargo, aún no se conocen soluciones tan exactas que modelen discos de acreción giratorios debido a la extrema dificultad matemática de construirlos.

Definición matemática

El tensor de tensión-energía de un fluido relativista sin presión se puede escribir en la forma simple

${\displaystyle T^{\mu \nu }=\rho _{0}U^{\mu }U^{\nu }.}$

Aquí, las líneas del mundo de las partículas de polvo son las curvas integrales de cuatro velocidades y la densidad de materia en el marco de reposo del polvo está dada por la función escalar . ${\displaystyle U^{\mu }}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$

Valores propios

Debido a que el tensor de tensión-energía es una matriz de rango uno, un cálculo breve muestra que el polinomio característico

${\displaystyle \chi (\lambda )=\lambda ^{4}+a_{3}\,\lambda ^{3}+a_{2}\,\lambda ^{2}+a_{1}\,\lambda +a_{0}}$

del tensor de Einstein en una solución de polvo tendrá la forma

${\displaystyle \chi (\lambda )=\left(\lambda -8\pi \mu \right)\,\lambda ^{3}}$

Al multiplicar este producto, encontramos que los coeficientes deben satisfacer las siguientes tres condiciones algebraicamente independientes (e invariantes):

${\displaystyle a_{0}\,=a_{1}=a_{2}=0}$

Utilizando las identidades de Newton , en términos de las sumas de las potencias de las raíces (valores propios), que son también las trazas de las potencias del propio tensor de Einstein, estas condiciones se convierten en:

${\displaystyle t_{2}=t_{1}^{2},\;\;t_{3}=t_{1}^{3},\;\;t_{4}=t_{1}^{4}}$

En notación de índice tensorial , esto se puede escribir usando el escalar de Ricci como:

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=-R}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=R^{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=-R^{3}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=R^{4}}$

Este criterio de valor propio a veces es útil en la búsqueda de soluciones de polvo, ya que muestra que muy pocas variedades lorentzianas podrían admitir una interpretación, en relatividad general, como una solución de polvo.

Ejemplos

Solución de polvo nulo

Una solución de polvo nula es una solución de polvo donde el tensor de Einstein es nulo. ^{[ se necesita más explicación ]}

Polvo de bianchi

Un modelo de polvo de Bianchi exhibe varios ^{[¿ cuáles? ]} tipos de álgebras de Lie de campos vectoriales de Killing .

Los casos especiales incluyen FLRW y polvo de Kasner. ^{[ se necesita más explicación ]}

Polvo de Kasner

Un polvo de Kasner es el modelo cosmológico más simple ^{[ ¿según quién? ] que exhibe} expansión anisotrópica . ^{[ se necesita más explicación ]}

Polvo FLRW

Los polvos de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW) son homogéneos e isotrópicos . Estas soluciones se conocen a menudo como modelos FLRW dominados por la materia .

Polvo giratorio

El polvo de van Stockum es un polvo giratorio cilíndricamente simétrico.

El modelo de polvo de Neugebauer-Meinel es un disco giratorio de polvo adaptado a un vacío exterior axisimétrico. Esta solución se ha denominado ^{[ ¿según quién? ]} , la solución exacta más notable descubierta desde el vacío de Kerr .

Otras soluciones

Entre las soluciones de polvo individuales más destacadas se incluyen:

• Polvos de Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) (unos de los modelos cosmológicos no homogéneos más simples , a menudo empleados como modelos de colapso gravitacional)
• Polvos de Kantowski-Sachs (modelos cosmológicos que presentan perturbaciones de los modelos FLRW)
• Métrica de Gödel

Véase también

• Grupo de Lorentz

Referencias

• Schutz, Bernard F. (2009), "4. Fluidos perfectos en relatividad especial", Un primer curso de relatividad general (2.ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88705-2
• Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; Herlt, E. (2003). Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein (2ª ed.) . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-46136-7. Da muchos ejemplos de soluciones de polvo exactas.