Efecto Josephson

Fenómeno físico cuántico

Chip de matriz de uniones Josephson desarrollado por el Instituto Nacional de Estándares y Tecnología como un voltímetro estándar

En física, el efecto Josephson es un fenómeno que ocurre cuando dos superconductores se colocan cerca, con alguna barrera o restricción entre ellos. El efecto recibe su nombre del físico británico Brian Josephson , quien predijo en 1962 las relaciones matemáticas para la corriente y el voltaje a través del enlace débil. ^{[1] [2]} Es un ejemplo de un fenómeno cuántico macroscópico , donde los efectos de la mecánica cuántica son observables a escala ordinaria, en lugar de atómica. El efecto Josephson tiene muchas aplicaciones prácticas porque exhibe una relación precisa entre diferentes medidas físicas, como el voltaje y la frecuencia, lo que facilita mediciones altamente precisas.

El efecto Josephson produce una corriente, conocida como supercorriente , que fluye continuamente sin que se aplique voltaje alguno a través de un dispositivo conocido como unión Josephson (JJ). Estas están formadas por dos o más superconductores acoplados por un enlace débil. El enlace débil puede ser una barrera aislante delgada (conocida como unión superconductor-aislante-superconductor o SIS), una sección corta de metal no superconductor (SNS) o una constricción física que debilita la superconductividad en el punto de contacto (ScS).

Las uniones Josephson tienen aplicaciones importantes en circuitos mecánico-cuánticos , como los SQUID , los qubits superconductores y la electrónica digital RSFQ . El estándar NIST para un voltio se logra mediante una matriz de 20.208 uniones Josephson en serie . ^[3]

Historia

El efecto DC Josephson se había observado en experimentos anteriores a 1962, ^[4] pero se había atribuido a "supercortocircuitos" o brechas en la barrera aislante que conducían a la conducción directa de electrones entre los superconductores.

En 1962, Brian Josephson se interesó en el efecto túnel de los superconductores. Tenía entonces 23 años y era estudiante de segundo año de posgrado de Brian Pippard en el Laboratorio Mond de la Universidad de Cambridge . Ese año, Josephson tomó un curso de teoría de muchos cuerpos con Philip W. Anderson , un empleado de Bell Labs que se encontraba en licencia sabática durante el año académico 1961-1962. El curso le presentó a Josephson la idea de la simetría rota en los superconductores, y "estaba fascinado por la idea de la simetría rota y se preguntaba si podría haber alguna manera de observarla experimentalmente". Josephson estudió los experimentos de Ivar Giaever y Hans Meissner, y el trabajo teórico de Robert Parmenter. Pippard inicialmente creyó que el efecto túnel era posible pero que sería demasiado pequeño para ser perceptible, pero Josephson no estuvo de acuerdo, especialmente después de que Anderson le presentó una preimpresión de "Superconductive Tunneling" de Cohen, Falicov y Phillips sobre el sistema superconductor-barrera-metal normal. ^{[5] [6] : 223–224}

Al principio, Josephson y sus colegas no estaban seguros de la validez de los cálculos de Josephson. Anderson recordó más tarde:

Todos nosotros —Josephson, Pippard y yo, así como varias otras personas que también solían sentarse a tomar el té el lunes y participaban en los debates de las semanas siguientes— estábamos muy desconcertados por el significado del hecho de que la corriente depende de la fase.

Después de una revisión más exhaustiva, concluyeron que los resultados de Josephson eran válidos. Josephson luego envió "Posibles nuevos efectos en la tunelización superconductora" a Physics Letters en junio de 1962 ^[1] . La revista más nueva Physics Letters fue elegida en lugar de la mejor establecida Physical Review Letters debido a su incertidumbre sobre los resultados. John Bardeen , para entonces ya ganador del Premio Nobel, inicialmente se mostró públicamente escéptico de la teoría de Josephson en 1962, pero terminó aceptándola después de más experimentos y aclaraciones teóricas. ^{[6] : 222–227} Véase también: John Bardeen § Controversia sobre el efecto Josephson .

En enero de 1963, Anderson y su colega de Bell Labs, John Rowell, presentaron el primer artículo a Physical Review Letters para reivindicar la observación experimental del efecto Josephson, "Probable Observation of the Josephson Superconducting Tunneling Effect" [Observación probable del efecto túnel superconductor de Josephson]. ^[7] A estos autores se les concedieron patentes ^[8] sobre los efectos que nunca se hicieron valer, pero tampoco se cuestionaron. ^{[ cita requerida ]}

Antes de la predicción de Josephson, sólo se sabía que los electrones individuales (es decir, no apareados) pueden fluir a través de una barrera aislante, mediante el efecto túnel cuántico . Josephson fue el primero en predecir el efecto túnel de los pares de Cooper superconductores . Por este trabajo, Josephson recibió el Premio Nobel de Física en 1973. ^[9] John Bardeen fue uno de los nominadores. ^{[6] : 230}

Aplicaciones

El símbolo eléctrico de una unión Josephson

Los tipos de unión Josephson incluyen la unión Josephson φ (de la cual la unión Josephson π es un ejemplo especial), la unión Josephson larga y la unión túnel superconductora . Otros usos incluyen:

• Un "puente Dayem" es una unión Josephson de película delgada donde el enlace débil está formado por un cable superconductor que mide unos pocos micrómetros o menos. ^{[10] [11]}
• El recuento de uniones de Josephson es una variable proxy de la complejidad de un dispositivo.
• Los SQUID , o dispositivos superconductores de interferencia cuántica, son magnetómetros muy sensibles que funcionan a través del efecto Josephson.
• Los dispositivos de interferencia cuántica de helio superfluido (SHeQUIDs) son el análogo de helio superfluido de un dc-SQUID ^[12]
• En metrología de precisión , el efecto Josephson es una conversión reproducible entre frecuencia y voltaje . El patrón de voltaje Josephson toma la definición de frecuencia del patrón de cesio y proporciona la representación estándar de un voltio.
• Los transistores de un solo electrón suelen estar hechos de materiales superconductores y se denominan "transistores superconductores de un solo electrón". ^[13]
• La carga elemental se mide con mayor precisión en términos de la constante de Josephson y la constante de von Klitzing, que está relacionada con el efecto Hall cuántico.
• La electrónica digital RSFQ se basa en uniones Josephson en derivación. La conmutación de uniones emite un flujo magnético cuántico . Su presencia y ausencia representan el 1 y el 0 binarios. ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2e}}h}$
• La computación cuántica superconductora utiliza uniones Josephon como qubits, como en un qubit de flujo u otros esquemas donde la fase y la carga son variables conjugadas . ^[14]
• Los detectores de unión de túnel superconductores se utilizan en cámaras superconductoras

Las ecuaciones de Josephson

Diagrama de una única unión Josephson. A y B representan superconductores y C el enlace débil entre ellos.

El efecto Josephson se puede calcular utilizando las leyes de la mecánica cuántica. A la derecha se muestra un diagrama de una única unión Josephson. Supongamos que el superconductor A tiene un parámetro de orden Ginzburg–Landau , y el superconductor B , que se pueden interpretar como las funciones de onda de los pares de Cooper en los dos superconductores. Si la diferencia de potencial eléctrico a través de la unión es , entonces la diferencia de energía entre los dos superconductores es , ya que cada par de Cooper tiene el doble de carga que un electrón. Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger para este sistema cuántico de dos estados es: ^[15] ${\displaystyle \psi _{A}={\sqrt {n_{A}}}e^{i\phi _{A}}}$ ${\displaystyle \psi _{B}={\sqrt {n_{B}}}e^{i\phi _{B}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2eV}$

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {n_{A}}}e^{i\phi _{A}}\\{\sqrt {n_{B}}}e^{i\phi _{B}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}eV&K\\K&-eV\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {n_{A}}}e^{i\phi _{A}}\\{\sqrt {n_{B}}}e^{i\phi _{B}}\end{pmatrix}},}$$

donde la constante es una característica de la unión. Para resolver la ecuación anterior, primero calcule la derivada temporal del parámetro de orden en el superconductor A: ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}({\sqrt {n_{A}}}e^{i\phi _{A}})={\dot {\sqrt {n_{A}}}}e^{i\phi _{A}}+{\sqrt {n_{A}}}(i{\dot {\phi }}_{A}e^{i\phi _{A}})=({\dot {\sqrt {n_{A}}}}+i{\sqrt {n_{A}}}{\dot {\phi }}_{A})e^{i\phi _{A}},}$$

y por lo tanto la ecuación de Schrödinger da:

$${\displaystyle ({\dot {\sqrt {n_{A}}}}+i{\sqrt {n_{A}}}{\dot {\phi }}_{A})e^{i\phi _{A}}={\frac {1}{i\hbar }}(eV{\sqrt {n_{A}}}e^{i\phi _{A}}+K{\sqrt {n_{B}}}e^{i\phi _{B}}).}$$

La diferencia de fase de los parámetros de orden Ginzburg-Landau a lo largo de la unión se denomina fase Josephson :

$${\displaystyle \varphi =\phi _{B}-\phi _{A}.}$$Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger puede reescribirse como:

$${\displaystyle {\dot {\sqrt {n_{A}}}}+i{\sqrt {n_{A}}}{\dot {\phi }}_{A}={\frac {1}{i\hbar }}(eV{\sqrt {n_{A}}}+K{\sqrt {n_{B}}}e^{i\varphi }),}$$

y su ecuación conjugada compleja es:

$${\displaystyle {\dot {\sqrt {n_{A}}}}-i{\sqrt {n_{A}}}{\dot {\phi }}_{A}={\frac {1}{-i\hbar }}(eV{\sqrt {n_{A}}}+K{\sqrt {n_{B}}}e^{-i\varphi }).}$$

Suma las dos ecuaciones conjugadas para eliminar : ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{A}}$

$${\displaystyle 2{\dot {\sqrt {n_{A}}}}={\frac {1}{i\hbar }}(K{\sqrt {n_{B}}}e^{i\varphi }-K{\sqrt {n_{B}}}e^{-i\varphi })={\frac {K{\sqrt {n_{B}}}}{\hbar }}\cdot 2\sin \varphi .}$$

Desde entonces , tenemos: ${\displaystyle {\dot {\sqrt {n_{A}}}}={\frac {{\dot {n}}_{A}}{2{\sqrt {n_{A}}}}}}$

$${\displaystyle {\dot {n}}_{A}={\frac {2K{\sqrt {n_{A}n_{B}}}}{\hbar }}\sin \varphi .}$$

Ahora, resta las dos ecuaciones conjugadas para eliminar : ${\displaystyle {\dot {\sqrt {n_{A}}}}}$

$${\displaystyle 2i{\sqrt {n_{A}}}{\dot {\phi }}_{A}={\frac {1}{i\hbar }}(2eV{\sqrt {n_{A}}}+K{\sqrt {n_{B}}}e^{i\varphi }+K{\sqrt {n_{B}}}e^{-i\varphi }),}$$

Lo cual da:

$${\displaystyle {\dot {\phi }}_{A}=-{\frac {1}{\hbar }}(eV+K{\sqrt {\frac {n_{B}}{n_{A}}}}\cos \varphi ).}$$

De manera similar, para el superconductor B podemos derivar que:

$${\displaystyle {\dot {n}}_{B}=-{\frac {2K{\sqrt {n_{A}n_{B}}}}{\hbar }}\sin \varphi ,\,{\dot {\phi }}_{B}={\frac {1}{\hbar }}(eV-K{\sqrt {\frac {n_{A}}{n_{B}}}}\cos \varphi ).}$$

Teniendo en cuenta que la evolución de la fase de Josephson es y la derivada temporal de la densidad del portador de carga es proporcional a la corriente , cuando , la solución anterior produce las ecuaciones de Josephson : ^[16] ${\displaystyle {\dot {\varphi }}={\dot {\phi }}_{B}-{\dot {\phi }}_{A}}$ ${\displaystyle {\dot {n}}_{A}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle n_{A}\approx n_{B}}$

${\displaystyle I(t)=I_{c}\sin(\varphi (t))}$(1)

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}={\frac {2eV(t)}{\hbar }}}$(2)

donde y son el voltaje y la corriente a través de la unión Josephson, y es un parámetro de la unión llamado corriente crítica . La ecuación (1) se llama primera relación de Josephson o relación corriente-fase de enlace débil , y la ecuación (2) se llama segunda relación de Josephson o ecuación de evolución de fase superconductora . La corriente crítica de la unión Josephson depende de las propiedades de los superconductores y también puede verse afectada por factores ambientales como la temperatura y el campo magnético aplicado externamente. ${\displaystyle V(t)}$ ${\displaystyle I(t)}$ ${\displaystyle I_{c}}$

La constante de Josephson se define como:

$${\displaystyle K_{J}={\frac {2e}{h}}\,,}$$

y su inverso es el cuanto de flujo magnético :

$${\displaystyle \Phi _{0}={\frac {h}{2e}}=2\pi {\frac {\hbar }{2e}}\,.}$$

La ecuación de evolución de la fase superconductora se puede reexpresar como:

$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=2\pi [K_{J}V(t)]={\frac {2\pi }{\Phi _{0}}}V(t)\,.}$$

Si definimos:

$${\displaystyle \Phi =\Phi _{0}{\frac {\varphi }{2\pi }}\,,}$$

Entonces el voltaje a través de la unión es:

$${\displaystyle V={\frac {\Phi _{0}}{2\pi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}={\frac {d\Phi }{dt}}\,,}$$

lo cual es muy similar a la ley de inducción de Faraday . Pero nótese que este voltaje no proviene de la energía magnética, ya que no hay campo magnético en los superconductores ; en cambio, este voltaje proviene de la energía cinética de los portadores (es decir, los pares de Cooper). Este fenómeno también se conoce como inductancia cinética .

Tres efectos principales

Característica típica de IV de una unión túnel superconductora, un tipo común de unión Josephson. La escala del eje vertical es de 50 μA y la del eje horizontal es de 1 mV. La barra en representa el efecto Josephson de CC, mientras que la corriente en valores grandes de se debe al valor finito de la banda prohibida del superconductor y no se reproduce mediante las ecuaciones anteriores. ${\displaystyle V=0}$ ${\displaystyle \left|V\right|}$

Hay tres efectos principales predichos por Josephson que se derivan directamente de las ecuaciones de Josephson:

El efecto DC Josephson

El efecto Josephson de corriente continua es una corriente continua que atraviesa el aislante en ausencia de cualquier campo electromagnético externo, debido al efecto túnel . Esta corriente Josephson de corriente continua es proporcional al seno de la fase Josephson (diferencia de fase a través del aislante, que permanece constante a lo largo del tiempo) y puede adoptar valores entre y . ${\displaystyle -I_{c}}$ ${\displaystyle I_{c}}$

El efecto AC Josephson

Con un voltaje fijo a través de la unión, la fase variará linealmente con el tiempo y la corriente será una corriente alterna (CA ) sinusoidal con amplitud y frecuencia . Esto significa que una unión Josephson puede actuar como un convertidor de voltaje a frecuencia perfecto. ${\displaystyle V_{DC}}$ ${\displaystyle I_{c}}$ ${\displaystyle K_{J}V_{DC}}$

El efecto Josephson AC inverso

La radiación de microondas de una sola frecuencia (angular) puede inducir voltajes de CC cuantificados ^[17] a través de la unión Josephson, en cuyo caso la fase Josephson toma la forma , y el voltaje y la corriente a través de la unión serán: ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \varphi (t)=\varphi _{0}+n\omega t+a\sin(\omega t)}$ $${\displaystyle V(t)={\frac {\hbar }{2e}}\omega (n+a\cos(\omega t)),{\text{ and }}I(t)=I_{c}\sum _{m=-\infty }^{\infty }J_{m}(a)\sin(\varphi _{0}+(n+m)\omega t),}$$

Los componentes de CC son: $${\displaystyle V_{\text{DC}}=n{\frac {\hbar }{2e}}\omega ,{\text{ and }}I_{\text{DC}}=I_{c}J_{-n}(a)\sin \varphi _{0}.}$$

Esto significa que una unión Josephson puede actuar como un convertidor de frecuencia a voltaje perfecto, ^[18] que es la base teórica del estándar de voltaje Josephson.

Inductancia de Josephson

Cuando la corriente y la fase Josephson varían con el tiempo, la caída de voltaje a través de la unión también variará en consecuencia; como se muestra en la derivación a continuación, las relaciones Josephson determinan que este comportamiento se puede modelar mediante una inductancia cinética denominada inductancia Josephson. ^[19]

Reescriba las relaciones de Josephson como:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial I}{\partial \varphi }}&=I_{c}\cos \varphi ,\\{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}&={\frac {2\pi }{\Phi _{0}}}V.\end{aligned}}}$

Ahora, aplique la regla de la cadena para calcular la derivada temporal de la corriente:

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}={\frac {\partial I}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=I_{c}\cos \varphi \cdot {\frac {2\pi }{\Phi _{0}}}V,}$

Reordene el resultado anterior en forma de característica corriente-voltaje de un inductor:

${\displaystyle V={\frac {\Phi _{0}}{2\pi I_{c}\cos \varphi }}{\frac {\partial I}{\partial t}}=L(\varphi ){\frac {\partial I}{\partial t}}.}$

Esto da la expresión para la inductancia cinética en función de la fase de Josephson:

${\displaystyle L(\varphi )={\frac {\Phi _{0}}{2\pi I_{c}\cos \varphi }}={\frac {L_{J}}{\cos \varphi }}.}$

Aquí se muestra un parámetro característico de la unión Josephson, llamado inductancia Josephson. ${\displaystyle L_{J}=L(0)={\frac {\Phi _{0}}{2\pi I_{c}}}}$

Obsérvese que, aunque el comportamiento cinético de la unión Josephson es similar al de un inductor, no hay un campo magnético asociado. Este comportamiento se deriva de la energía cinética de los portadores de carga, en lugar de la energía de un campo magnético.

Energía Josephson

Basándose en la similitud de la unión Josephson con un inductor no lineal, se puede calcular la energía almacenada en una unión Josephson cuando fluye una supercorriente a través de ella. ^[20]

La supercorriente que fluye a través de la unión está relacionada con la fase Josephson mediante la relación corriente-fase (CPR):

${\displaystyle I=I_{c}\sin \varphi .}$

La ecuación de evolución de la fase superconductora es análoga a la ley de Faraday :

${\displaystyle V=\operatorname {d} \!\Phi /\operatorname {d} \!t\,.}$

Supongamos que en el momento , la fase Josephson es ; En un momento posterior , la fase Josephson evolucionó a . El aumento de energía en la unión es igual al trabajo realizado en la unión: ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}}$

${\displaystyle \Delta E=\int _{1}^{2}IV\operatorname {d} \!{t}=\int _{1}^{2}I\operatorname {d} \!\Phi =\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}I_{c}\sin \varphi \operatorname {d} \!\left(\Phi _{0}{\frac {\varphi }{2\pi }}\right)=-{\frac {\Phi _{0}I_{c}}{2\pi }}\Delta \cos \varphi \,.}$

Esto demuestra que el cambio de energía en la unión Josephson depende únicamente del estado inicial y final de la unión y no del camino recorrido . Por lo tanto, la energía almacenada en una unión Josephson es una función de estado , que puede definirse como:

${\displaystyle E(\varphi )=-{\frac {\Phi _{0}I_{c}}{2\pi }}\cos \varphi =-E_{J}\cos \varphi \,.}$

A continuación se muestra un parámetro característico de la unión Josephson, denominado energía Josephson. Está relacionado con la inductancia Josephson por . También se suele utilizar una definición alternativa pero equivalente. ${\displaystyle E_{J}=|E(0)|={\frac {\Phi _{0}I_{c}}{2\pi }}}$ ${\displaystyle E_{J}=L_{J}I_{c}^{2}}$ ${\displaystyle E(\varphi )=E_{J}(1-\cos \varphi )}$

Nuevamente, tenga en cuenta que un inductor de bobina magnética no lineal acumula energía potencial en su campo magnético cuando una corriente pasa a través de él; sin embargo, en el caso de la unión Josephson, ninguna supercorriente crea ningún campo magnético; la energía almacenada proviene de la energía cinética de los portadores de carga.

El modelo RCSJ

El modelo de unión derivada por capacitancia resistiva (RCSJ), ^{[21] [22]} o simplemente modelo de unión derivada, incluye el efecto de la impedancia de CA de una unión Josephson real además de las dos relaciones Josephson básicas indicadas anteriormente.

Según el teorema de Thévenin ^[23] , la impedancia de CA de la unión se puede representar mediante un condensador y una resistencia en derivación, ambos paralelos ^[24] a la unión Josephson ideal. La expresión completa para la corriente de excitación se convierte en: ${\displaystyle I_{\text{ext}}}$

${\displaystyle I_{\text{ext}}=C_{J}{\frac {\operatorname {d} \!V}{\operatorname {d} \!t}}+I_{c}\sin \varphi +{\frac {V}{R}},}$

donde el primer término es la corriente de desplazamiento con – capacitancia efectiva, y el tercero es la corriente normal con – resistencia efectiva de la unión. ${\displaystyle C_{J}}$ ${\displaystyle R}$

Profundidad de penetración de Josephson

La profundidad de penetración de Josephson caracteriza la longitud típica en la que un campo magnético aplicado externamente penetra en la unión Josephson larga . Generalmente se denota como y se da por la siguiente expresión (en el SI): ${\displaystyle \lambda _{J}}$

${\displaystyle \lambda _{J}={\sqrt {\frac {\Phi _{0}}{2\pi \mu _{0}d'j_{c}}}},}$

donde es el cuanto de flujo magnético, es la densidad crítica de supercorriente (A/m ² ), y caracteriza la inductancia de los electrodos superconductores ^[25] ${\displaystyle \Phi _{0}}$ ${\displaystyle j_{c}}$ ${\displaystyle d'}$

${\displaystyle d'=d_{I}+\lambda _{1}\tanh \left({\frac {d_{1}}{2\lambda _{1}}}\right)+\lambda _{2}\tanh \left({\frac {d_{2}}{2\lambda _{2}}}\right),}$

donde es el espesor de la barrera Josephson (normalmente aislante), y son los espesores de los electrodos superconductores, y y son sus profundidades de penetración de London . La profundidad de penetración de Josephson suele oscilar entre unos pocos μm y varios mm si la densidad de corriente crítica es muy baja. ^[26] ${\displaystyle d_{I}}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

Véase también

• Unión Pi Josephson
• φ Unión Josephson
• Diodo Josephson
• Reflexión de Andreev
• Vórtices fraccionales
• Teoría de Ginzburg-Landau
• Fenómenos cuánticos macroscópicos
• Atrapamiento cuántico macroscópico
• Computadora cuántica
• Giroscopio cuántico
• Cuántico de flujo único rápido (RSFQ)
• Semifluxón
• Energía de punto cero
• Vórtice de Josephson

Referencias

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