Un momento es una expresión matemática que involucra el producto de una distancia y una cantidad como una fuerza física, una fuerza magnética, una carga eléctrica o una velocidad. Los momentos generalmente se definen con respecto a un punto de referencia fijo y se refieren a cantidades físicas ubicadas a cierta distancia del punto de referencia. Por ejemplo, el momento de fuerza, a menudo llamado torque , es el producto de una fuerza sobre un objeto y la distancia desde el punto de referencia al objeto. En principio, cualquier cantidad física puede multiplicarse por una distancia para producir un momento. Las cantidades comúnmente utilizadas incluyen fuerzas, masas y distribuciones de carga eléctrica que involucran armónicos esféricos ; se proporciona una lista más adelante.
Elaboración
En su forma más básica, un momento es el producto de la distancia a un punto, elevado a una potencia, y una cantidad física (como fuerza o carga eléctrica) en ese punto:
¿Dónde está la cantidad física, como una fuerza aplicada en un punto, una carga puntual, una masa puntual, etc. Si la cantidad no se concentra únicamente en un solo punto, el momento es la integral de la densidad de esa cantidad en el espacio?
¿Dónde está la distribución de la densidad de carga, masa o cualquier cantidad que se esté considerando?
Las formas más complejas tienen en cuenta las relaciones angulares entre la distancia y la cantidad física, pero las ecuaciones anteriores capturan la característica esencial de un momento, es decir, la existencia de un término subyacente o equivalente. Esto implica que hay múltiples momentos (uno para cada valor de n ) y que el momento generalmente depende del punto de referencia desde el cual se mide la distancia, aunque para ciertos momentos (técnicamente, el momento más bajo distinto de cero) esta dependencia se desvanece y el momento se vuelve independiente del punto de referencia.
Cada valor de n corresponde a un momento diferente: el 1er momento corresponde a n = 1; el segundo momento a n = 2, etc. El momento 0 ( n = 0) a veces se denomina momento monopolar ; el primer momento ( n = 1) a veces se denomina momento dipolar , y el segundo momento ( n = 2) a veces se denomina momento cuadrupolar , especialmente en el contexto de las distribuciones de carga eléctrica.
Ejemplos
El momento de fuerza , o par , es un primer momento:, o, más generalmente ,.
De manera similar, el momento angular es el primer momento del momento :. El impulso en sí no es un momento.
El momento dipolar eléctrico es también un 1.er momento: para dos cargas puntuales opuestas o para una carga distribuida con densidad de carga .
Momentos de masa:
La masa total es el momento cero de la masa.
El centro de masa es el primer momento de masa normalizado por la masa total: para un conjunto de masas puntuales o para un objeto con distribución de masa .
El momento de inercia es el segundo momento de la masa: para una masa puntual, para un conjunto de masas puntuales o para un objeto con distribución de masa . El centro de masa se toma a menudo (pero no siempre) como punto de referencia.
Momentos multipolares
Suponiendo una función de densidad finita y localizada en una región particular, fuera de esa región un potencial 1/ r puede expresarse como una serie de armónicos esféricos :
Los coeficientes se conocen como momentos multipolares y toman la forma:
donde expresada en coordenadas esféricas es una variable de integración. Se puede encontrar un tratamiento más completo en las páginas que describen la expansión multipolar o los momentos multipolares esféricos . (La convención en las ecuaciones anteriores fue tomada de Jackson [1] ; las convenciones utilizadas en las páginas a las que se hace referencia pueden ser ligeramente diferentes).
Cuando representa una densidad de carga eléctrica, son, en cierto sentido, proyecciones de los momentos de carga eléctrica: es el momento monopolar; son proyecciones del momento dipolar, son proyecciones del momento cuadrupolar, etc.
Aplicaciones de momentos multipolares
La expansión multipolar se aplica a potenciales escalares 1/ r , ejemplos de los cuales incluyen el potencial eléctrico y el potencial gravitacional . Para estos potenciales, la expresión se puede utilizar para aproximar la intensidad de un campo producido por una distribución localizada de cargas (o masa) calculando los primeros momentos. Para r suficientemente grande , se puede obtener una aproximación razonable sólo a partir de los momentos monopolares y dipolares. Se puede lograr una mayor fidelidad calculando momentos de orden superior. Se pueden utilizar extensiones de la técnica para calcular energías de interacción y fuerzas intermoleculares.
La técnica también se puede utilizar para determinar las propiedades de una distribución desconocida . Se pueden tomar y utilizar mediciones relativas a momentos multipolares para inferir propiedades de la distribución subyacente. Esta técnica se aplica a objetos pequeños como moléculas, [2] [3]
pero también se ha aplicado al propio universo, [4] siendo por ejemplo la técnica empleada por los experimentos WMAP y Planck para analizar la radiación cósmica de fondo de microondas .
Historia
Una palanca en equilibrio
En obras que se cree que provienen de la antigua Grecia , el concepto de momento es aludido por la palabra ῥοπή ( rhopḗ , literalmente "inclinación") y compuestos como ἰσόρροπα ( isorropa , literalmente "de inclinaciones iguales"). [5] [6] [7] El contexto de estos trabajos es la mecánica y geometría que involucra la palanca . [8] En particular, en las obras existentes atribuidas a Arquímedes , el momento se señala en frases como:
" Las magnitudes conmensurables ( σύμμετρα μεγέθεα ) [A y B] están igualmente equilibradas ( ἰσορροπέοντι ) [a] si sus distancias [al centro Γ, es decir, ΑΓ y ΓΒ] son inversamente proporcionales ( ἀντιπεπο νθότως ) a sus pesos ( βάρεσιν )." [6] [9]
En 1554, Francesco Maurolico aclara el término latino impulso en la obra Prologi sive sermones . Aquí hay una traducción del latín al inglés proporcionada por Marshall Clagett : [6]
"[...] pesos iguales a distancias desiguales no pesan igual, pero pesos desiguales [a estas distancias desiguales pueden] pesar igualmente. Porque un peso suspendido a mayor distancia es más pesado, como se ve claramente en una balanza . Por lo tanto, no hay Existe un tercer tipo de potencia o tercera diferencia de magnitud, que difiere tanto del cuerpo como del peso, y a esto lo llaman momento [c] . Por lo tanto, un cuerpo adquiere peso tanto por la cantidad [es decir, el tamaño] como por la calidad [es decir, material], pero un peso recibe su momento de la distancia a la que está suspendido. Por lo tanto, cuando las distancias son recíprocamente proporcionales a los pesos, los momentos [de los pesos] son iguales, como demostró Arquímedes en El libro de los momentos iguales [d . ] Por lo tanto, los pesos o [más bien] momentos, como otras cantidades continuas, se unen en algún término común, es decir, en algo común a ambos como el centro de peso, o en un punto de equilibrio . Todo peso es aquel punto que, por muchas veces que esté suspendido el cuerpo, siempre se inclina perpendicularmente hacia el centro universal.
Además del cuerpo, el peso y el momento, existe un cuarto poder, que puede denominarse impulso o fuerza. [e] Aristóteles lo investiga en Sobre cuestiones mecánicas , y es completamente diferente de [las] tres [potencias o magnitudes] antes mencionadas. [...]"
En 1643, Thomas Salusbury traduce algunas de las obras de Galilei al inglés . Salusbury traduce impulso latino y momento italiano al término inglés momento . [F]
En 1811, el término francés moment d'une force ( inglés : momento de fuerza ) con respecto a un punto y un plano es utilizado por Siméon Denis Poisson en Traité de mécanique . [16] Una traducción al inglés aparece en 1842.
En 1884, James Thomson sugirió el término par en el contexto de la medición de fuerzas de rotación de máquinas (con hélices y rotores ). [17] [18] Hoy en día, se utiliza un dinamómetro para medir el par de las máquinas.
En 1893, Karl Pearson utiliza el término n-ésimo momento y en el contexto de mediciones científicas de ajuste de curvas . [19] Pearson escribió en respuesta a John Venn , quien, algunos años antes, observó un patrón peculiar que involucraba datos meteorológicos y pidió una explicación de su causa. [20] En la respuesta de Pearson, se utiliza esta analogía: el "centro de gravedad" mecánico es la media y la "distancia" es la desviación de la media. Esto luego evolucionó hacia momentos en matemáticas . La analogía entre el concepto mecánico de momento y la función estadística que implica la suma de las enésimas potencias de desviaciones fue notada por varios anteriormente, entre ellos Laplace , Kramp , Gauss , Encke , Czuber , Quetelet y De Forest . [21]
Equilibrio mecánico , se aplica cuando un objeto está equilibrado de modo que la suma de los momentos en el sentido de las agujas del reloj alrededor de un pivote es igual a la suma de los momentos en el sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del mismo pivote.
Momento de inercia , análogo a la masa en discusiones sobre movimiento de rotación. Es una medida de la resistencia de un objeto a los cambios en su velocidad de rotación.
Momento magnético , un momento dipolar que mide la fuerza y dirección de una fuente magnética.
Momento dipolar eléctrico , momento dipolar que mide la diferencia de carga y la dirección entre dos o más cargas. Por ejemplo, el momento dipolar eléctrico entre una carga de – q y q separadas por una distancia de d es
Momento flector , momento que resulta en la flexión de un elemento estructural
Primer momento del área , propiedad de un objeto relacionada con su resistencia al esfuerzo cortante.
Segundo momento de área , propiedad de un objeto relacionada con su resistencia a la flexión y deflexión.
^ Una traducción alternativa es "tener momentos iguales", como la utilizó Francesco Maurolico en el siglo XVI. [6] Una traducción literal es "tener iguales inclinaciones".
↑ Treccani escribe en su entrada sobre moménto: "[...] alla tradizione medievale, nella quale momentum significava, per lo più, minima porzione di tempo, la più piccola parte dell'ora (precisamente, 1/40 di ora, un minuto e mezzo), ma anche minima quantità di peso, e quindi l'ago della bilancia (basta l'applicazione di un momento di peso perché si rompa l'equilibrio e la bilancia tracolli in un momento);"
↑ En latín: impulso .
^ La traducción moderna de este libro es "sobre el equilibrio de los planos". La traducción "en momentos iguales (de planos)" utilizada por Maurolico también se repite en su libro de cuatro volúmenes llamado De momentis aequalibus ("sobre momentos iguales"), donde aplica las ideas de Arquímedes a los cuerpos sólidos.
↑ En latín: ímpetu o vis . Este cuarto poder fue el precursor intelectual del impulso del latinismo inglés , también llamado cantidad de movimiento .
^ Esto está muy en línea con otras palabras latinas -entum como documentum , monumentum o argumentum que se convirtieron en documento , monumento y argumento en francés e inglés.
Referencias
^ JD Jackson, Electrodinámica clásica , 2ª edición, Wiley, Nueva York, (1975). pag. 137
^ Spackman, MA (1992). "Momentos eléctricos moleculares a partir de datos de difracción de rayos X". Reseñas químicas . 92 (8): 1769-1797. doi :10.1021/cr00016a005.
^
Dittrich y Jayatilaka, Mediciones confiables de momentos dipolares a partir de datos de difracción de un solo cristal y evaluación de una mejora en el cristal , densidad electrónica y enlace químico II, estudios teóricos de densidad de carga, Stalke, D. (Ed), 2012, https:/ /www.springer.com/978-3-642-30807-9
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^ Clagett, Marshall (1959). La Ciencia de la Mecánica en la Edad Media . Madison, WI: Prensa de la Universidad de Wisconsin.
^ Dijksterhuis, EJ (1956). Arquímedes. Copenhague: E. Munksgaard. pag. 288.
^ "momento". Diccionario de ingles Oxford . 1933.
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^ Galluzzi, Paolo (1979). Momento. Estudios Galileiani . Roma: Edizioni dell'Ateneo & Bizarri.
^ Euler, Leonhard (1765). Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum: Ex primis nostrae cognitionis principiis stabilita et ad omnes motus, qui in huiusmodi corpora cadere possunt, accommodata [La teoría del movimiento de cuerpos sólidos o rígidos: establecida a partir de los primeros principios de nuestro conocimiento y apropiada para todos los movimientos que puede ocurrir en tales cuerpos.] (en latín). Rostock y Greifswald (Alemania): AF Röse. pag. 166.ISBN978-1-4297-4281-8.De la página 166: "Definitio 7. 422. Momentum inertiae corporis respectu eujuspiam axis est summa omnium productorum, quae oriuntur, si singula corporis elementa per quadrata distantiarum suarum ab ax multiplicentur". (Definición 7. 422. El momento de inercia de un cuerpo con respecto a cualquier eje es la suma de todos los productos que surgen si los elementos individuales del cuerpo se multiplican por el cuadrado de sus distancias al eje).
^ Huygens, Christiaan (1673). Horologium oscillatorium, sive de Motu pendulorum ad horologia aptato demostraciones geométricas (en latín). pag. 91.
^ Huygens, Christiaan (1977-1995). "Centro de Oscilación (traducción)". Traducido por Mahoney, Michael S. Consultado el 22 de mayo de 2022 .
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^ Caminante, Helen M. (1929). Estudios de historia del método estadístico, con especial referencia a determinados problemas educativos. Baltimore, Williams & Wilkins Co. pág. 71.
enlaces externos
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