En matemáticas , se dice que dos números reales distintos de cero a y b son conmensurables si su relación a/bes un número racional ; de lo contrario, a y b se llaman inconmensurables . (Recuerde que un número racional es aquel que equivale a la razón de dos números enteros ). Existe una noción más general de conmensurabilidad en la teoría de grupos .
Por ejemplo, los números 3 y 2 son conmensurables porque su relación,3/2, es un número racional. Los números y también son conmensurables porque su razón, , es un número racional. Sin embargo, los números y 2 son inconmensurables porque su razón, , es un número irracional .
De manera más general, se desprende inmediatamente de la definición de que si a y b son dos números racionales distintos de cero, entonces a y b son conmensurables; También es inmediato que si a es cualquier número irracional y b es cualquier número racional distinto de cero, entonces a y b son inconmensurables. Por otro lado, si tanto a como b son números irracionales, entonces a y b pueden ser conmensurables o no.
A los pitagóricos se les atribuye la prueba de la existencia de los números irracionales . [1] [2] Cuando la relación entre las longitudes de dos segmentos de línea es irracional, los segmentos de línea en sí (no solo sus longitudes) también se describen como inconmensurables.
En el Libro V de los Elementos de Euclides se desarrolló una doctrina griega antigua separada, más general y tortuosa, de proporcionalidad para la magnitud geométrica , con el fin de permitir pruebas que involucraran longitudes inconmensurables, evitando así argumentos que se aplicaban sólo a una definición históricamente restringida de número .
La noción de conmensurabilidad de Euclides se anticipa de pasada en la discusión entre Sócrates y el niño esclavo en el diálogo de Platón titulado Menón , en el que Sócrates utiliza las capacidades inherentes del niño para resolver un problema geométrico complejo a través del método socrático. Desarrolla una prueba que es, a todos los efectos, de naturaleza muy euclidiana y habla del concepto de inconmensurabilidad. [3]
El uso proviene principalmente de las traducciones de los Elementos de Euclides , en las que dos segmentos de línea a y b se llaman conmensurables precisamente si hay un tercer segmento c que se puede colocar extremo a extremo un número entero de veces para producir un segmento congruente. a a , y también, con un número entero diferente, un segmento congruente con b . Euclides no utilizó ningún concepto de número real, pero utilizó una noción de congruencia de segmentos de recta, y de que uno de esos segmentos es más largo o más corto que otro.
Esoa/bes racional es una condición necesaria y suficiente para la existencia de algún número real c , y números enteros m y n , tales que
Suponiendo por simplicidad que a y b son positivos , se puede decir que una regla , marcada en unidades de longitud c , podría usarse para medir tanto un segmento de recta de longitud a como uno de longitud b . Es decir, existe una unidad de longitud común en términos de la cual se pueden medir a y b ; este es el origen del término. De lo contrario, el par a y b son inconmensurables .
En teoría de grupos , se dice que dos subgrupos Γ 1 y Γ 2 de un grupo G son conmensurables si la intersección Γ 1 ∩ Γ 2 es de índice finito tanto en Γ 1 como en Γ 2 .
Ejemplo: Sean a y b números reales distintos de cero. Entonces el subgrupo de los números reales R generado por a es conmensurable con el subgrupo generado por b si y sólo si los números reales a y b son conmensurables, en el sentido de que a / b es racional. Así, la noción de conmensurabilidad de la teoría de grupos generaliza el concepto de números reales.
Existe una noción similar para dos grupos que no se dan como subgrupos del mismo grupo. Dos grupos G 1 y G 2 son ( abstractamente ) conmensurables si hay subgrupos H 1 ⊂ G 1 y H 2 ⊂ G 2 de índice finito tales que H 1 es isomorfo a H 2 .
A veces se dice que dos espacios topológicos conectados por caminos son conmensurables si tienen espacios de cobertura homeomórficos de láminas finitas . Dependiendo del tipo de espacio considerado, es posible que desee utilizar equivalencias de homotopía o difeomorfismos en lugar de homeomorfismos en la definición. Si dos espacios son conmensurables, entonces sus grupos fundamentales son conmensurables.
Ejemplo: dos superficies cerradas cualesquiera del género al menos 2 son conmensurables entre sí.
