Segundo momento del área

Constructo matemático en ingeniería

El segundo momento de área , o segundo momento de área , o momento cuadrático de área y también conocido como momento de inercia de área , es una propiedad geométrica de un área que refleja cómo se distribuyen sus puntos con respecto a un eje arbitrario. El segundo momento de área se denota típicamente con un (para un eje que se encuentra en el plano del área) o con un (para un eje perpendicular al plano). En ambos casos, se calcula con una integral múltiple sobre el objeto en cuestión. Su dimensión es L (longitud) a la cuarta potencia. Su unidad de dimensión, cuando se trabaja con el Sistema Internacional de Unidades , es metros a la cuarta potencia, m ⁴ , o pulgadas a la cuarta potencia, in ⁴ , cuando se trabaja en el Sistema Imperial de Unidades o el sistema consuetudinario de EE . UU . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

En ingeniería estructural , el segundo momento de área de una viga es una propiedad importante que se utiliza para calcular la deflexión de la viga y la tensión causada por un momento aplicado a la viga. Para maximizar el segundo momento de área, una gran fracción del área de la sección transversal de una viga en I se ubica a la distancia máxima posible del centroide de la sección transversal de la viga en I. El segundo momento de área plano proporciona información sobre la resistencia de una viga a la flexión debido a un momento aplicado, una fuerza o una carga distribuida perpendicular a su eje neutro , en función de su forma. El segundo momento de área polar proporciona información sobre la resistencia de una viga a la deflexión torsional , debido a un momento aplicado paralelo a su sección transversal, en función de su forma.

Distintas disciplinas utilizan el término momento de inercia (MOI) para referirse a diferentes momentos . Puede referirse a cualquiera de los segundos momentos de área planares (a menudo o con respecto a algún plano de referencia), o al segundo momento de área polar ( , donde r es la distancia a algún eje de referencia). En cada caso, la integral es sobre todos los elementos infinitesimales de área , dA , en alguna sección transversal bidimensional. En física , el momento de inercia es estrictamente el segundo momento de masa con respecto a la distancia desde un eje: , donde r es la distancia a algún eje de rotación potencial, y la integral es sobre todos los elementos infinitesimales de masa , dm , en un espacio tridimensional ocupado por un objeto  Q . El MOI, en este sentido, es el análogo de la masa para problemas rotacionales. En ingeniería (especialmente mecánica y civil), el momento de inercia se refiere comúnmente al segundo momento del área. ^[1] ${\textstyle I_{x}=\iint _{R}y^{2}\,dA}$ ${\textstyle I_{y}=\iint _{R}x^{2}\,dA,}$ ${\textstyle I=\iint _{R}r^{2}\,dA}$ ${\textstyle I=\int _{Q}r^{2}dm}$

Definición

Una forma arbitraria. ρ es la distancia al elemento d A , con proyecciones x e y en los ejes x e y .

El segundo momento del área para una forma arbitraria  R con respecto a un eje arbitrario ( el eje no está dibujado en la imagen adyacente; es un eje coplanar con los ejes x e y y es perpendicular al segmento de línea ) se define como donde ${\displaystyle BB'}$ ${\displaystyle BB'}$ ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle J_{BB'}=\iint _{R}{\rho }^{2}\,dA}$$

• ${\displaystyle dA}$es el elemento de área infinitesimal, y
• ${\displaystyle \rho }$es la distancia desde el eje. ^[2] ${\displaystyle BB'}$

Por ejemplo, cuando el eje de referencia deseado es el eje x, el segundo momento del área (a menudo denotado como ) se puede calcular en coordenadas cartesianas como ${\displaystyle I_{xx}}$ ${\displaystyle I_{x}}$

$${\displaystyle I_{x}=\iint _{R}y^{2}\,dx\,dy}$$

El segundo momento del área es crucial en la teoría de Euler-Bernoulli de vigas esbeltas.

Momento del producto del área

De manera más general, el momento del producto del área se define como ^[3] $${\displaystyle I_{xy}=\iint _{R}yx\,dx\,dy}$$

Teorema de los ejes paralelos

Una figura con eje centrífugo x . El teorema de los ejes paralelos se puede utilizar para obtener el segundo momento del área con respecto al eje x' .

A veces es necesario calcular el segundo momento del área de una figura con respecto a un eje diferente del eje centroidal de la figura. Sin embargo, a menudo es más fácil derivar el segundo momento del área con respecto a su eje centroidal, y utilizar el teorema de los ejes paralelos para derivar el segundo momento del área con respecto al eje. El teorema de los ejes paralelos establece que ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$ $${\displaystyle I_{x'}=I_{x}+Ad^{2}}$$

• ${\displaystyle A}$es el área de la forma, y
• ${\displaystyle d}$es la distancia perpendicular entre los ejes y . ^{[4] [5]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$

Se puede hacer una afirmación similar sobre un eje y el eje barimétrico paralelo o, en general, sobre cualquier eje barimétrico y un eje paralelo. ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B'}$

Teorema del eje perpendicular

Para simplificar el cálculo, a menudo se desea definir el momento polar de área (con respecto a un eje perpendicular) en términos de dos momentos de inercia de área (ambos con respecto a ejes en el plano). El caso más simple se relaciona con y . ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle I_{x}}$ ${\displaystyle I_{y}}$

$${\displaystyle J_{z}=\iint _{R}\rho ^{2}\,dA=\iint _{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)dA=\iint _{R}x^{2}\,dA+\iint _{R}y^{2}\,dA=I_{x}+I_{y}}$$

Esta relación se basa en el teorema de Pitágoras , que relaciona y con y con la linealidad de la integración . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \rho }$

Formas compuestas

Para áreas más complejas, suele ser más fácil dividir el área en una serie de formas "más simples". El segundo momento del área de toda la forma es la suma del segundo momento de las áreas de todas sus partes con respecto a un eje común. Esto puede incluir formas que "faltan" (es decir, agujeros, formas huecas, etc.), en cuyo caso el segundo momento del área de las áreas "faltantes" se resta, en lugar de sumarse. En otras palabras, el segundo momento del área de las partes "faltantes" se considera negativo para el método de formas compuestas.

Ejemplos

Consulte la lista de segundos momentos de área para otras formas.

Rectángulo con centroide en el origen

Rectángulo con base b y altura h

Consideremos un rectángulo con base y altura cuyo centroide se encuentra en el origen. representa el segundo momento del área con respecto al eje x; representa el segundo momento del área con respecto al eje y; representa el momento polar de inercia con respecto al eje z. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle I_{x}}$ ${\displaystyle I_{y}}$ ${\displaystyle J_{z}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{x}&=\iint _{R}y^{2}\,dA=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}y^{2}\,dy\,dx=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}{\frac {1}{3}}{\frac {h^{3}}{4}}\,dx={\frac {bh^{3}}{12}}\\I_{y}&=\iint _{R}x^{2}\,dA=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}x^{2}\,dy\,dx=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}hx^{2}\,dx={\frac {b^{3}h}{12}}\end{aligned}}}$$

Utilizando el teorema del eje perpendicular obtenemos el valor de . ${\displaystyle J_{z}}$

$${\displaystyle J_{z}=I_{x}+I_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}+{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {bh}{12}}\left(b^{2}+h^{2}\right)}$$

Anillo centrado en el origen

Anillo con radio interior r ₁ y radio exterior r ₂

Consideremos un anillo cuyo centro está en el origen, el radio exterior es , y el radio interior es . Debido a la simetría del anillo, el centroide también se encuentra en el origen. Podemos determinar el momento polar de inercia, , respecto al eje mediante el método de formas compuestas. Este momento polar de inercia es equivalente al momento polar de inercia de un círculo con radio menos el momento polar de inercia de un círculo con radio , ambos centrados en el origen. Primero, derivemos el momento polar de inercia de un círculo con radio con respecto al origen. En este caso, es más fácil calcular directamente como ya tenemos , que tiene tanto un componente como . En lugar de obtener el segundo momento de área a partir de coordenadas cartesianas como se hizo en la sección anterior, calcularemos y directamente utilizando coordenadas polares . ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle r^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle I_{x}}$ ${\displaystyle J_{z}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{x,{\text{circle}}}&=\iint _{R}y^{2}\,dA=\iint _{R}\left(r\sin {\theta }\right)^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}\left(r\sin {\theta }\right)^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)\\&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\sin ^{2}{\theta }\,dr\,d\theta =\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}\sin ^{2}{\theta }}{4}}\,d\theta ={\frac {\pi }{4}}r^{4}\\J_{z,{\text{circle}}}&=\iint _{R}r^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}}{4}}\,d\theta ={\frac {\pi }{2}}r^{4}\end{aligned}}}$$

Ahora bien, el momento polar de inercia respecto del eje de un anillo es simplemente, como se indicó anteriormente, la diferencia de los segundos momentos de área de un círculo con radio y un círculo con radio . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}}$

$${\displaystyle J_{z}=J_{z,r_{2}}-J_{z,r_{1}}={\frac {\pi }{2}}r_{2}^{4}-{\frac {\pi }{2}}r_{1}^{4}={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)}$$

Otra posibilidad es cambiar los límites de la integral la primera vez para reflejar el hecho de que hay un agujero. Esto se haría de la siguiente manera. ${\displaystyle dr}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}&=\iint _{R}r^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\left[{\frac {r_{2}^{4}}{4}}-{\frac {r_{1}^{4}}{4}}\right]\,d\theta ={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}$$

Cualquier polígono

Un polígono simple. Aquí, nótese que el punto "7" es idéntico al punto 1. ${\displaystyle n=6}$

El segundo momento del área respecto del origen para cualquier polígono simple en el plano XY se puede calcular en general sumando las contribuciones de cada segmento del polígono después de dividir el área en un conjunto de triángulos. Esta fórmula está relacionada con la fórmula del cordón de zapato y se puede considerar un caso especial del teorema de Green .

Se supone que un polígono tiene vértices numerados en sentido antihorario. Si los vértices del polígono están numerados en sentido horario, los valores devueltos serán negativos, pero los valores absolutos serán correctos. ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{y}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}\right)\\I_{x}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}\right)\\I_{xy}&={\frac {1}{24}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}\right)\end{aligned}}}$$

donde son las coordenadas del vértice del polígono -ésimo, para . Además, se supone que son iguales a las coordenadas del primer vértice, es decir, y . ^{[6] [7] [8] [9]} ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle x_{n+1},y_{n+1}}$ ${\displaystyle x_{n+1}=x_{1}}$ ${\displaystyle y_{n+1}=y_{1}}$

Véase también

• Lista de segundos momentos del área
• Lista de momentos de inercia
• Momento de inercia
• Teorema de los ejes paralelos
• Teorema del eje perpendicular
• Radio de giro

Referencias

1. Beer, Ferdinand P. (2013). Mecánica vectorial para ingenieros (10.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pág. 471. ISBN 978-0-07-339813-6El término segundo momento es más apropiado que el término momento de inercia, ya que, lógicamente, este último debería usarse solo para denotar integrales de masa (véase la sección 9.11). Sin embargo, en la práctica de la ingeniería, el momento de inercia se usa en relación con áreas y masas.
2. Pilkey, Walter D. (2002). Análisis y diseño de vigas elásticas . John Wiley & Sons, Inc., pág. 15. ISBN 978-0-471-38152-5.
3. Beer, Ferdinand P. (2013). "Capítulo 9.8: Producto de inercia". Mecánica vectorial para ingenieros (10.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pág. 495. ISBN 978-0-07-339813-6.
4. Hibbeler, RC (2004). Estática y mecánica de materiales (segunda edición). Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-028127-1 . 
5. Beer, Ferdinand P. (2013). "Capítulo 9.6: Teorema de los ejes paralelos". Mecánica vectorial para ingenieros (10.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pág. 481. ISBN 978-0-07-339813-6.
6. Hally, David (1987). Cálculo de los momentos de polígonos (PDF) (informe técnico). Defensa Nacional Canadiense. Memorándum técnico 87/209. Archivado (PDF) del original el 23 de marzo de 2020.
7. Obregón, Joaquín (2012). Simetría mecánica. Autor House. ISBN 978-1-4772-3372-6.
8. Steger, Carsten (1996). "Sobre el cálculo de momentos arbitrarios de polígonos" (PDF) . S2CID  17506973. Archivado desde el original (PDF) el 2018-10-03.
9. Soerjadi, Ir. R. "Sobre el cálculo de los momentos de un polígono, con algunas aplicaciones".