Los métodos de Monte Carlo se utilizan en finanzas corporativas y finanzas matemáticas para valorar y analizar instrumentos , carteras e inversiones (complejos) simulandolas diversas fuentes de incertidumbre que afectan su valor y luego determinando la distribución de su valor en el rango de resultados resultantes . [1] [2] Esto generalmente se hace con la ayuda de modelos de activos estocásticos . La ventaja de los métodos de Monte Carlo sobre otras técnicas aumenta a medida que aumentan las dimensiones (fuentes de incertidumbre) del problema.
Los métodos de Monte Carlo fueron introducidos por primera vez en las finanzas en 1964 por David B. Hertz a través de su artículo en Harvard Business Review , [3] en el que analiza su aplicación en finanzas corporativas . En 1977, Phelim Boyle fue pionero en el uso de la simulación en la valoración de derivados en su artículo fundamental en el Journal of Financial Economics . [4]
Este artículo analiza los problemas financieros típicos en los que se utilizan los métodos de Monte Carlo. También se refiere al uso de los métodos llamados "cuasialeatorios", como el uso de secuencias de Sobol .
El método Monte Carlo abarca cualquier técnica de muestreo estadístico empleada para aproximar soluciones a problemas cuantitativos. [5] Esencialmente, el método Monte Carlo resuelve un problema simulando directamente el proceso (físico) subyacente y luego calculando el resultado (promedio) del proceso. [1] Este enfoque muy general es válido en áreas como la física , la química , la informática , etc.
En finanzas , el método de Montecarlo se utiliza para simular las diversas fuentes de incertidumbre que afectan el valor del instrumento , cartera o inversión en cuestión, y para luego calcular un valor representativo dados estos posibles valores de los inputs subyacentes. [1] ("Cubre todas las contingencias concebibles del mundo real en proporción a su probabilidad". [6] ) En términos de teoría financiera , esto, esencialmente, es una aplicación de la valoración neutral al riesgo ; [7] Véase también neutralidad del riesgo .
Aplicaciones:
Aunque los métodos de Monte Carlo brindan flexibilidad y pueden manejar múltiples fuentes de incertidumbre, el uso de estas técnicas no siempre es apropiado. En general, se prefieren los métodos de simulación a otras técnicas de valoración sólo cuando existen varias variables de estado (es decir, varias fuentes de incertidumbre). [1] Estas técnicas también son de uso limitado para valorar los derivados del estilo americano. Vea abajo.
Muchos problemas en finanzas matemáticas implican el cálculo de una integral particular (por ejemplo, el problema de encontrar el valor libre de arbitraje de una derivada particular ). En muchos casos, estas integrales se pueden valorar analíticamente y, en aún más casos, se pueden valorar mediante integración numérica o calcular mediante una ecuación diferencial parcial (PDE). Sin embargo, cuando el número de dimensiones (o grados de libertad) del problema es grande, las PDE y las integrales numéricas se vuelven intratables y, en estos casos, los métodos de Monte Carlo suelen dar mejores resultados.
Para más de tres o cuatro variables de estado, no existen fórmulas como la de Black-Scholes (es decir, soluciones analíticas ), mientras que otros métodos numéricos como el modelo de valoración de opciones binomiales y los métodos de diferencias finitas enfrentan varias dificultades y no son prácticos. En estos casos, los métodos de Monte Carlo convergen a la solución más rápidamente que los métodos numéricos, requieren menos memoria y son más fáciles de programar. Sin embargo, para situaciones más simples, la simulación no es la mejor solución porque requiere mucho tiempo y requiere mucho cálculo.
Los métodos de Monte Carlo pueden manejar derivados que tienen pagos dependientes de la trayectoria de una manera bastante sencilla. Por otro lado, los solucionadores de diferencias finitas (PDE) luchan con la dependencia de la ruta.
Los métodos de Montecarlo son más difíciles de utilizar con las opciones americanas . Esto se debe a que, a diferencia de una ecuación diferencial parcial , el método de Monte Carlo en realidad sólo estima el valor de la opción suponiendo un punto de partida y un tiempo determinados.
Sin embargo, para el ejercicio temprano, también necesitaríamos conocer el valor de la opción en los momentos intermedios entre el momento de inicio de la simulación y el momento de vencimiento de la opción. En el método PDE de Black-Scholes, estos precios se obtienen fácilmente porque la simulación se ejecuta hacia atrás desde la fecha de vencimiento. En Montecarlo esta información es más difícil de obtener, pero se puede hacer, por ejemplo, utilizando el algoritmo de mínimos cuadrados de Carriere (ver enlace al artículo original) [ cita necesaria ] que se hizo popular unos años más tarde por Longstaff y Schwartz (ver enlace al artículo original) [ cita requerida ] .
El teorema fundamental de la fijación de precios sin arbitraje establece que el valor de un derivado es igual al valor esperado descontado del pago del derivado cuando la expectativa se toma según la medida neutral al riesgo [1] . Una expectativa es, en el lenguaje de las matemáticas puras , simplemente una integral con respecto a la medida. Los métodos de Monte Carlo son ideales para evaluar integrales difíciles (ver también método de Monte Carlo ).
Por lo tanto, si suponemos que nuestro espacio de probabilidad neutral al riesgo es y que tenemos un derivado H que depende de un conjunto de instrumentos subyacentes . Luego, dada una muestra del espacio de probabilidad, el valor de la derivada es . El valor actual del derivado se calcula tomando la expectativa de todas las muestras posibles y descontando a la tasa libre de riesgo. Es decir, la derivada tiene valor:
donde es el factor de descuento correspondiente a la tasa libre de riesgo a la fecha de vencimiento final T años en el futuro.
Ahora supongamos que la integral es difícil de calcular. Podemos aproximar la integral generando caminos de muestra y luego tomando un promedio. Supongamos que generamos N muestras entonces
que es mucho más fácil de calcular.
En finanzas, generalmente se supone que las variables aleatorias subyacentes (como el precio de una acción subyacente) siguen una trayectoria que es función de un movimiento browniano 2 . Por ejemplo, en el modelo estándar de Black-Scholes , el precio de las acciones evoluciona como
Para muestrear una trayectoria que sigue esta distribución desde el tiempo 0 hasta T, dividimos el intervalo de tiempo en M unidades de longitud y aproximamos el movimiento browniano a lo largo del intervalo mediante una única variable normal de media 0 y varianza . Esto conduce a una ruta de muestra de
para cada k entre 1 y M . Aquí cada uno es un sorteo de una distribución normal estándar.
Supongamos que una derivada H paga el valor promedio de S entre 0 y T entonces un camino muestral corresponde a un conjunto y
Obtenemos el valor de Monte-Carlo de esta derivada generando N lotes de M variables normales, creando N caminos de muestra y, por lo tanto, N valores de H , y luego tomando el promedio. Normalmente, el derivado dependerá de dos o más subyacentes (posiblemente correlacionados). El método aquí se puede ampliar para generar rutas de muestra de varias variables, donde las variables normales que forman las rutas de muestra están correlacionadas adecuadamente.
Del teorema del límite central se deduce que cuadruplicar el número de caminos de muestra reduce aproximadamente a la mitad el error en el precio simulado (es decir, el error tiene convergencia de orden en el sentido de la desviación estándar de la solución).
En la práctica, los métodos de Monte Carlo se utilizan para derivados de estilo europeo que involucran al menos tres variables (generalmente se pueden usar métodos más directos que involucran integración numérica para aquellos problemas con solo uno o dos subyacentes. Consulte el modelo de opciones de Monte Carlo) .
Las estimaciones para los " griegos " de una opción, es decir, las derivadas (matemáticas) del valor de la opción con respecto a los parámetros de entrada, se pueden obtener mediante diferenciación numérica. Este puede ser un proceso que requiere mucho tiempo (se debe realizar una ejecución completa de Monte Carlo para cada "golpe" o pequeño cambio en los parámetros de entrada). Además, tomar derivadas numéricas tiende a enfatizar el error (o ruido) en el valor de Monte Carlo, lo que hace necesario simular con una gran cantidad de trayectorias de muestra. Los profesionales consideran estos puntos como un problema clave al utilizar los métodos de Monte Carlo.
La convergencia de la raíz cuadrada es lenta, por lo que utilizar el enfoque ingenuo descrito anteriormente requiere utilizar una gran cantidad de rutas de muestra (1 millón, digamos, para un problema típico) para obtener un resultado preciso. Recuerde que un estimador del precio de un derivado es una variable aleatoria y, en el marco de una actividad de gestión de riesgos, la incertidumbre sobre el precio de una cartera de derivados y/o sobre sus riesgos puede llevar a decisiones de gestión de riesgos subóptimas.
Esta situación puede mitigarse mediante técnicas de reducción de la varianza .
Una técnica simple es, para cada camino de muestra obtenido, tomar su camino antitético, es decir, se le da un camino para tomar también . Dado que las variables y forman un par antitético, un valor grande de una va acompañado de un valor pequeño de la otra. Esto sugiere que una salida inusualmente grande o pequeña calculada a partir de la primera ruta puede equilibrarse con el valor calculado a partir de la ruta antitética, lo que resulta en una reducción de la varianza. [25] Esto no solo reduce el número de muestras normales que se deben tomar para generar N rutas, sino que también, en las mismas condiciones, como una correlación negativa entre dos estimaciones, reduce la varianza de las rutas de muestra, mejorando la precisión.
También es natural utilizar una variable de control . Supongamos que deseamos obtener el valor de Monte Carlo de una derivada H , pero conocemos analíticamente el valor de una derivada similar I. Entonces H * = (Valor de H según Monte Carlo) + B*[(Valor de I analíticamente ) − (Valor de I según los mismos caminos de Monte Carlo)] es una mejor estimación, donde B es covar(H,I)/var(H).
La intuición detrás de esta técnica, cuando se aplica a derivados, es la siguiente: tenga en cuenta que la fuente de la variación de un derivado dependerá directamente de los riesgos (por ejemplo, delta, vega) de este derivado. Esto se debe a que cualquier error en, digamos, el estimador del valor a plazo de un subyacente generará un error correspondiente dependiendo del delta de la derivada con respecto a este valor a plazo. El ejemplo más sencillo para demostrarlo consiste en comparar el error al fijar el precio de una opción call at-the-money y de una opción at-the-money straddle (es decir, call+put), que tiene un delta mucho más bajo.
Por lo tanto, una forma estándar de elegir el derivado I consiste en elegir carteras de opciones replicativas para H. En la práctica, se fijará el precio de H sin reducción de varianza, se calcularán deltas y vegas, y luego se utilizará una combinación de opciones de compra y venta que tengan los mismos deltas y vegas como variable de control.
El muestreo de importancia consiste en simular las trayectorias de Monte Carlo utilizando una distribución de probabilidad diferente (también conocida como cambio de medida) que dará más probabilidad de que el subyacente simulado se ubique en el área donde el pago del derivado tiene la mayor convexidad (por ejemplo, cercano a la huelga en el caso de una opción simple). Los pagos simulados no se promedian simplemente como en el caso de un Monte Carlo simple, sino que primero se multiplican por la relación de probabilidad entre la distribución de probabilidad modificada y la original (que se obtiene mediante fórmulas analíticas específicas para la distribución de probabilidad). Esto garantizará que las rutas cuya probabilidad haya sido mejorada arbitrariamente por el cambio en la distribución de probabilidad se ponderen con una ponderación baja (así es como se reduce la varianza).
Esta técnica puede resultar particularmente útil al calcular los riesgos de un derivado. A la hora de calcular el delta mediante un método de Monte Carlo, la forma más sencilla es la técnica de la caja negra, que consiste en hacer un Monte Carlo sobre los datos del mercado originales y otro sobre los datos del mercado modificados, y calcular el riesgo haciendo la diferencia. En cambio, el método de muestreo de importancia consiste en hacer un Monte Carlo con datos de mercado de referencia arbitrarios (idealmente uno en el que la varianza sea lo más baja posible) y calcular los precios utilizando la técnica de cambio de peso descrita anteriormente. Esto da como resultado un riesgo que será mucho más estable que el obtenido mediante el enfoque de caja negra .
En lugar de generar rutas de muestra aleatoriamente, es posible seleccionar sistemáticamente (y de hecho de manera completamente determinista, a pesar de la palabra "cuasialeatoria" en el nombre) puntos en espacios de probabilidad para "llenar" el espacio de manera óptima. La selección de puntos es una secuencia de baja discrepancia como una secuencia de Sobol . Tomar promedios de los pagos de derivados en puntos de una secuencia de baja discrepancia suele ser más eficiente que tomar promedios de pagos en puntos aleatorios.
{{cite journal}}
: Citar diario requiere |journal=
( ayuda ){{cite web}}
: CS1 maint: multiple names: authors list (link){{cite web}}
: CS1 maint: multiple names: authors list (link)General
Valoración de derivados
Finanzas corporativas
Finanzas personales