Torsor (geometría algebraica)

Análogo de geometría algebraica de un paquete principal en topología algebraica

En geometría algebraica , un torsor o un paquete principal es un análogo de un paquete principal en topología algebraica . Debido a que hay pocos conjuntos abiertos en la topología Zariski , es más común considerar torsors en topología étale u otras topologías planas. La noción también generaliza una extensión de Galois en álgebra abstracta. Aunque se conocen otras nociones de torsors en un contexto más general (por ejemplo, sobre pilas ), este artículo se centrará en los torsors sobre esquemas , el entorno original donde se pensó en los torsors. La palabra torsor proviene del francés torseur . De hecho, se analizan ampliamente, por ejemplo, en el famoso libro Groupes algébriques, Tomo I de Michel Demazure y Pierre Gabriel . ^[1]

Definición

Sean una topología y un esquema de Grothendieck . Además, sea un esquema de grupo , un -torsor (o paquete principal) para la topología (o simplemente un -torsor cuando la topología está clara por el contexto) son los datos de un esquema y un morfismo con una acción -invariante. eso es localmente trivial, es decir, existe una cobertura tal que el cambio de base es isomorfo al trivial torsor ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f:P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \{U_{i}\to X\}}$ ${\displaystyle U_{i}\times _{X}P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U_{i}\times G\to U_{i}}$

Notaciones

Cuando es la topología étale (resp. fpqc , etc.) en lugar de un torsor para la topología étale también podemos decir un étale-torsor (resp. fpqc-torsor, etc.). ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Topologías Étale, fpqc y fppf.

A diferencia de la topología de Zariski, en muchas topologías de Grothendieck, un torsor puede ser en sí mismo una cubierta. Esto sucede en algunas de las topologías de Grothendieck más comunes, como la topología fpqc, la topología fppf pero también la topología étale (y muchas otras menos famosas). Entonces, sea cualquiera de esas topologías (étale, fpqc, fppf). Sea un esquema y un esquema de grupo terminado . Entonces es un -torsor si y sólo si over es isomorfo al trivial torsor over . En este caso solemos decir que un torsor se trivializa a sí mismo (ya que se convierte en un torsor trivial cuando se lo coloca sobre sí mismo). ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\times _{X}P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\times G}$ ${\displaystyle P}$

Paquetes de vectores de correspondencia- -torsores GRAMO l norte {\displaystyle {GL}_{n}}

Sobre un esquema dado hay una biyección, entre haces de vectores sobre (es decir, gavillas localmente libres) y -torsores, donde , el rango de . Dado, se puede tomar el haz (representable) de isomorfismos locales que tiene una estructura de -torsor. Es fácil demostrarlo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {GL}_{n}}$ ${\displaystyle n=rk(V)\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Isom(V,{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n})}$ ${\displaystyle Isom({\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n},{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n})}$ ${\displaystyle Isom({\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n},{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n})\simeq GL_{n,X}}$

Torsos y secciones triviales.

Un -torsor es isomorfo a un torsor trivial si y sólo si no está vacío, es decir, el morfismo admite al menos una sección . De hecho, si existe una sección , entonces hay un isomorfismo. Por otro lado, si es isomorfo a un -torsor trivial , entonces ; el elemento de identidad da la sección requerida . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f:P\to X}$ ${\displaystyle P(X)=\operatorname {Mor} (X,P)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s:X\to P}$ ${\displaystyle s:X\to P}$ ${\displaystyle X\times G\to P,(x,g)\mapsto s(x)g}$ ${\displaystyle f:P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\simeq X\times G}$ ${\displaystyle 1_{G}\in G}$ ${\displaystyle s=id_{X}\times 1_{G}}$

Ejemplos y propiedades básicas.

• Si es una extensión de Galois finita , entonces es un -torsor (más o menos porque el grupo de Galois actúa simplemente transitivamente sobre las raíces). Por abuso de notación todavía lo hemos denotado por el esquema de grupo constante finito sobre asociado al grupo abstracto . Este hecho es una base para la ascendencia de Galois . Ver extensión integral para una generalización. ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} L\to \operatorname {Spec} K}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$
• Si es una variedad abeliana sobre un campo , entonces la multiplicación por , es un torsor para la topología fpqc bajo la acción del esquema de grupo finito . Eso sucede por ejemplo cuando es una curva elíptica . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n_{X}:X\to X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle ker(n_{X})}$ ${\displaystyle X}$

Torsores y cohomología

Sea un -torsor para la topología étale y sea una cobertura trivializante , como en la definición. Un torsor trivial admite una sección: así, hay elementos . Al arreglar dichas secciones , podemos escribir de forma única con . Diferentes opciones de cantidad para 1-colímites en cohomología; es decir, definen una clase de cohomología en el grupo de cohomología de gavilla (más precisamente cohomología de Čech con coeficiente de gavilla) . ^[3] Un torsor trivial corresponde al elemento de identidad. Por el contrario, es fácil ver que cualquier clase define un -torsor sobre , único hasta un isomorfismo único. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{U_{i}\to X\}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s_{i}\in P(U_{i})}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}g_{ij}=s_{j}}$ ${\displaystyle U_{ij}}$ ${\displaystyle g_{ij}\in G(U_{ij})}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle H^{1}(X,G)}$ ${\displaystyle H^{1}(X,G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

El torsor universal de un esquema X y el esquema de grupo fundamental

En este contexto, se deben tomar torsors en la topología fpqc . Sea un esquema de Dedekind (por ejemplo, el espectro de un campo) y un morfismo fielmente plano , localmente de tipo finito. Supongamos que tiene una sección . Decimos que tiene un esquema de grupo fundamental si existe un torsor pro-finito y plano , llamado torsor universal de , con una sección tal que para cualquier torsor finito con una sección existe un morfismo único de torsores que envían a . Su existencia ha sido probada por Madhav V. Nori ^{[4] [5] [6]} para el espectro de un campo y por Marco Antei , Michel Emsalem y Carlo Gasbarri cuando se trata de un esquema de Dedekind de dimensión 1. ^{[7] [8]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X(S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle {\hat {X}}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\hat {x}}\in {\hat {X}}_{x}(S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle y\in Y_{x}(S)}$ ${\displaystyle {\hat {X}}\to Y}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

El producto contratado

El producto contratado es una operación que permite construir un nuevo torsor a partir de uno determinado, inflando o desinflando su estructura con algún procedimiento particular también conocido como empuje hacia adelante. Aunque la construcción se puede presentar en una generalidad más amplia, aquí solo presentamos la siguiente situación, más fácil y muy común: se nos da un -torsor derecho y un morfismo de esquema de grupo . Luego actúa hacia la izquierda mediante la multiplicación por la izquierda: . Decimos que dos elementos y son equivalentes si existe tal que . El espacio de órbitas se llama producto contraído de a través de . Los elementos se denotan como . El producto contratado es un esquema y tiene una estructura de torsor derecho cuando se proporciona con la acción . Por supuesto, todas las operaciones deben plantearse funcionalmente y no establecerse teóricamente. El nombre producto contratado proviene del francés produit contracté y en geometría algebraica se prefiere a su equivalente topológico empujar hacia adelante. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f:P\to X}$ ${\displaystyle u:G\to M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g\star m:=u(g)m}$ ${\displaystyle (p,m)\in P\times M}$ ${\displaystyle (p',m')\in P\times M}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle (pg^{-1},g\star m)=(p',m')}$ ${\displaystyle P\times ^{G}M:={\frac {P\times M}{G}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle u:G\to M}$ ${\displaystyle p\wedge m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (p\wedge m)*m':=p\wedge (mm')}$

Morfismos de torsores y reducción del esquema de grupo estructural.

Sean y respectivamente un torsor (derecho) y un torsor (derecho) en alguna topología de Grothendieck donde y son esquemas de grupo. Un morfismo (de torsors) de a es un par de morfismos donde es un -morfismo y es un morfismo de esquema de grupo tal que donde y son respectivamente la acción de on y of on . ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle h:T\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a:Y\to T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b:G\to H}$ ${\displaystyle \sigma _{H}\circ (a\times b)=a\circ \sigma _{G}}$ ${\displaystyle \sigma _{G}}$ ${\displaystyle \sigma _{H}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$

De esta forma se puede demostrar que es isomorfo al producto contratado . Si los morpshims son una inmersión cerrada entonces se dice que es un subtorsor de . También podemos decir, heredando el lenguaje de la topología, que admite una reducción del esquema de grupo de estructura de a . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y\times ^{G}H}$ ${\displaystyle b:G\to H}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

Teorema de reducción de estructura

Un resultado importante de Vladimir Drinfeld y Carlos Simpson es el siguiente: sea una curva proyectiva suave sobre un campo algebraicamente cerrado , un grupo algebraico semisimple, dividido y simplemente conexo (luego un esquema de grupo) y un -torsor en , siendo un finitamente generado. -álgebra. Entonces existe un morfismo étale tal que admite una reducción del esquema de grupo de estructura a un esquema de subgrupo de Borel de . ^{[9] [10]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X_{R}=X\times _{\operatorname {Spec} k}\operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R\to R'}$ ${\displaystyle P\times _{X_{R}}X_{R'}}$ ${\displaystyle G}$

Más observaciones

• Es común considerar un torsor no sólo para un esquema de grupo sino, más generalmente, para un haz de grupo (por ejemplo, haz de grupo fppf).
• La categoría de torsores sobre una base fija forma una pila . Por el contrario, un preapilado se puede apilar tomando la categoría de torsors (sobre el preapilado).
• Si es un grupo algebraico conexo sobre un campo finito , entonces cualquier -torsor sobre es trivial. ( Teorema de Lang .) ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q}}$

Invariantes

Si P es un subgrupo parabólico de un esquema de grupo afín suave G con fibras conectadas, entonces su grado de inestabilidad, denotado por , es el grado de su álgebra de Lie como un paquete vectorial en X. Entonces el grado de inestabilidad de G es . Si G es un grupo algebraico y E es un G -torsor, entonces el grado de inestabilidad de E es el grado de la forma interna de G inducida por E (que es un esquema de grupo sobre X ); es decir, . Se dice que E es semiestable si y es estable si . ${\displaystyle \deg _{i}(P)}$ ${\displaystyle \operatorname {Lie} (P)}$ ${\displaystyle \deg _{i}(G)=\max\{\deg _{i}(P)\mid P\subset G{\text{ parabolic subgroups}}\}}$ ${\displaystyle {}^{E}G=\operatorname {Aut} _{G}(E)}$ ${\displaystyle \deg _{i}(E)=\deg _{i}({}^{E}G)}$ ${\displaystyle \deg _{i}(E)\leq 0}$ ${\displaystyle \deg _{i}(E)<0}$

Ejemplos de torsors en matemáticas aplicadas.

Según John Baez , la energía , el voltaje , la posición y la fase de una función de onda mecánico-cuántica son ejemplos de torsores en la física cotidiana; en cada caso, sólo se pueden medir comparaciones relativas, pero se debe elegir arbitrariamente un punto de referencia para que los valores absolutos tengan significado. Sin embargo, los valores comparativos de energía relativa, diferencia de voltaje, desplazamientos y diferencias de fase no son torsores, sino que pueden representarse mediante estructuras más simples como números reales, vectores o ángulos. ^[11]

En cálculo básico, cita integrales indefinidas como ejemplos de torsors. ^[11]

Ver también

• Teorema de Beauville-Laszlo
• Pila de módulos de paquetes principales

Notas

1. Demazure, Michel ; Gabriel, Pierre (2005). Groupes algébriques, tomo I. Holanda del Norte. ISBN 9780720420340.
2. Vistoli, Angelo (2005). Topologías de Grothendieck, en "Geometría Algebraica Fundamental" . AMS. ISBN 978-0821842454.
3. Milne 1980, La discusión que precede a la Proposición 4.6.
4. Nori, Madhav V. (1976). «Sobre las Representaciones del Grupo Fundamental» (PDF) . Composición Matemática . 33 (1): 29–42. Señor  0417179. Zbl  0337.14016.
5. Nori, Madhav V. (1982). "El esquema de grupo fundamental". Actas de Ciencias Matemáticas . 91 (2): 73-122. doi :10.1007/BF02967978. S2CID  121156750.
6. Szamuely, Tamás (2009). Grupos de Galois y Grupos Fundamentales . doi :10.1017/CBO9780511627064. ISBN 9780521888509.
7. Antei, Marco; Emsalem, Michel; Gasbarri, Carlo (2020). "Sobre la existencia del esquema en grupos fundamentales". Épijournal de Géométrie Algébrique . arXiv : 1504.05082 . doi : 10.46298/epiga.2020.volume4.5436. S2CID  227029191.
8. Antei, Marco; Emsalem, Michel; Gasbarri, Carlo (2020). "Erratum para "Alturas de haces de vectores y el esquema de grupo fundamental de una curva"". Diario de Matemáticas de Duke . 169 (16). doi :10.1215/00127094-2020-0065. S2CID  225148904.
9. Gaitsgory, Dennis (27 de octubre de 2009). "Notas del seminario: paquetes de Higgs, sección de Kostant y trivialidad local de los paquetes G" (PDF) . Universidad Harvard. Archivado desde el original (PDF) el 30 de junio de 2022.
10. Lurie, Jacob (5 de marzo de 2014). "Existencia de Reducciones Borel I (Conferencia 14)" (PDF) . Universidad Harvard.
11. Baez, John (27 de diciembre de 2009). "Torsores simplificados". matemáticas.ucr.edu . Consultado el 22 de noviembre de 2022 .

Referencias

• Behrend, K. La fórmula de traza de Lefschetz para la pila de módulos de paquetes principales. Tesis doctoral.
• Behrend, Kai; Conrado, Brian; Edidin, Dan; Fulton, William; Fantechi, Bárbara; Göttsche, Lothar; Kresch, Andrés (2006). "Pilas algebraicas". Archivado desde el original el 5 de mayo de 2008.
• Milne, James S. (1980). Étale cohomología. Serie Matemática de Princeton. vol. 33. Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 978-0-691-08238-7. SEÑOR  0559531.

Otras lecturas

• Brian Conrad, [http://math.stanford.edu/~conrad/papers/cosetfinite.pdf Teoremas de finitud para grupos algebraicos sobre campos de funciones]