En matemáticas , específicamente en geometría algebraica , el producto de fibras de esquemas es una construcción fundamental. Tiene muchas interpretaciones y casos especiales. Por ejemplo, el producto de fibras describe cómo una variedad algebraica sobre un cuerpo determina una variedad sobre un cuerpo mayor, o el pullback de una familia de variedades, o una fibra de una familia de variedades. El cambio de base es una noción estrechamente relacionada.
La categoría de esquemas es un ámbito amplio para la geometría algebraica. Una filosofía fructífera (conocida como el punto de vista relativo de Grothendieck ) es que gran parte de la geometría algebraica debería desarrollarse para un morfismo de esquemas X → Y (llamado esquema X sobre Y ), en lugar de para un único esquema X. Por ejemplo, en lugar de estudiar simplemente curvas algebraicas , se pueden estudiar familias de curvas sobre cualquier esquema base Y. De hecho, los dos enfoques se enriquecen mutuamente.
En particular, un esquema sobre un anillo conmutativo R significa un esquema X junto con un morfismo X → Spec ( R ). La noción más antigua de una variedad algebraica sobre un cuerpo k es equivalente a un esquema sobre k con ciertas propiedades. (Existen diferentes convenciones para determinar exactamente qué esquemas deberían llamarse "variedades". Una opción estándar es que una variedad sobre un cuerpo k significa un esquema integral separado de tipo finito sobre k . [1] )
En general, un morfismo de esquemas X → Y puede imaginarse como una familia de esquemas parametrizados por los puntos de Y . Dado un morfismo de algún otro esquema Z a Y , debería haber una familia de esquemas de "retroceso" sobre Z . Este es exactamente el producto de fibra X × Y Z → Z .
Formalmente: es una propiedad útil de la categoría de esquemas que el producto de fibras siempre existe. [2] Es decir, para cualquier morfismos de esquemas X → Y y Z → Y , existe un esquema X × Y Z con morfismos en X y Z , haciendo que el diagrama
conmutativo , y que es universal con esa propiedad. Es decir, para cualquier esquema W con morfismos en X y Z cuyas composiciones en Y son iguales, hay un morfismo único de W a X × Y Z que hace que el diagrama conmute. Como siempre con las propiedades universales, esta condición determina el esquema X × Y Z hasta un isomorfismo único, si existe. La prueba de que los productos de fibras de esquemas siempre existen reduce el problema al producto tensorial de anillos conmutativos (cf. esquemas de pegado ). En particular, cuando X , Y y Z son todos esquemas afines , entonces X = Spec( A ), Y = Spec( B ), y Z = Spec( C ) para algunos anillos conmutativos A , B , C , el producto de fibras es el esquema afín
El morfismo X × Y Z → Z se denomina cambio de base o retroceso del morfismo X → Y a través del morfismo Z → Y.
En algunos casos, el producto de fibra de esquemas tiene un adjunto derecho, la restricción de escalares .
Algunas propiedades importantes P de los morfismos de esquemas se conservan bajo un cambio de base arbitrario . Es decir, si X → Y tiene la propiedad P y Z → Y es cualquier morfismo de esquemas, entonces el cambio de base X x Y Z → Z tiene la propiedad P. Por ejemplo, los morfismos planos , los morfismos suaves , los morfismos propios y muchas otras clases de morfismos se conservan bajo un cambio de base arbitrario. [5]
La palabra descendencia se refiere a la pregunta inversa: si el morfismo retraído X x Y Z → Z tiene alguna propiedad P, ¿debe el morfismo original X → Y tener la propiedad P? Claramente esto es imposible en general: por ejemplo, Z podría ser el esquema vacío, en cuyo caso el morfismo retraído pierde toda la información sobre el morfismo original. Pero si el morfismo Z → Y es plano y sobreyectivo (también llamado fielmente plano ) y cuasicompacto , entonces muchas propiedades descienden de Z a Y. Las propiedades que descienden incluyen planicidad, suavidad, propiedad y muchas otras clases de morfismos. [6] Estos resultados forman parte de la teoría de Grothendieck del descenso fielmente plano .
Ejemplo: para cualquier extensión de cuerpo k ⊂ E , el morfismo Spec( E ) → Spec( k ) es fielmente plano y cuasi compacto. Por lo tanto, los resultados de descenso mencionados implican que un esquema X sobre k es suave sobre k si y solo si el cambio de base X E es suave sobre E . Lo mismo se aplica a la propiedad y muchas otras propiedades.
