Esquemas de pegado

Concepto matemático

En geometría algebraica, se puede obtener un nuevo esquema (por ejemplo, una variedad algebraica ) pegando esquemas existentes mediante el pegado de mapas.

Declaración

Supongamos que existe una familia (posiblemente infinita) de esquemas y que para los pares , existen subconjuntos abiertos e isomorfismos . Ahora bien, si los isomorfismos son compatibles en el sentido: para cada , ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle U_{ij}}$ ${\displaystyle \varphi _{ij}:U_{ij}{\overset {\sim }{\to }}U_{ji}}$ ${\displaystyle i,j,k}$

1. ${\displaystyle \varphi _{ij}=\varphi _{ji}^{-1}}$,
2. ${\displaystyle \varphi _{ij}(U_{ij}\cap U_{ik})=U_{ji}\cap U_{jk}}$,
3. ${\displaystyle \varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}=\varphi _{ik}}$en , ${\displaystyle U_{ij}\cap U_{ik}}$

entonces existe un esquema X , junto con los morfismos tales que ^[1] ${\displaystyle \psi _{i}:X_{i}\to X}$

1. ${\displaystyle \psi _{i}}$es un isomorfismo sobre un subconjunto abierto de X ,
2. ${\displaystyle X=\cup _{i}\psi _{i}(X_{i}),}$
3. ${\displaystyle \psi _{i}(U_{ij})=\psi _{i}(X_{i})\cap \psi _{j}(X_{j}),}$
4. ${\displaystyle \psi _{i}=\psi _{j}\circ \varphi _{ij}}$en . ${\displaystyle U_{ij}}$

Ejemplos

Línea proyectiva

La línea proyectiva se obtiene pegando dos líneas afines de manera que el origen y la ilusión en una línea corresponden a la ilusión y el origen en la otra línea, respectivamente. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$

Sean dos copias de la recta afín sobre un cuerpo k . Sea el complemento del origen y definido de forma similar. Sea Z el esquema obtenido al pegar a lo largo del isomorfismo dado por ; nos identificamos con los subconjuntos abiertos de Z . ^[2] Ahora, los anillos afines son ambos anillos polinómicos en una variable de tal manera ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (k[t])\simeq \mathbb {A} ^{1},Y=\operatorname {Spec} (k[u])\simeq \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle X_{t}=\{t\neq 0\}=\operatorname {Spec} (k[t,t^{-1}])}$ ${\displaystyle Y_{u}=\{u\neq 0\}}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle X_{t}\simeq Y_{u}}$ ${\displaystyle t^{-1}\leftrightarrow u}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{Z}),\Gamma (Y,{\mathcal {O}}_{Z})}$

${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{Z})=k[s]}$y ${\displaystyle \Gamma (Y,{\mathcal {O}}_{Z})=k[s^{-1}]}$

donde los dos anillos se consideran subanillos del cuerpo de funciones . Pero esto significa que ; porque, por definición, está cubierto por los dos gráficos afines abiertos cuyos anillos afines tienen la forma anterior. ${\displaystyle k(Z)=k(s)}$ ${\displaystyle Z=\mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

Línea afín con origen duplicado

Sea como en el ejemplo anterior. Pero esta vez sea el esquema obtenido al pegar a lo largo del isomorfismo dado por . ^[3] Por lo tanto, geométricamente, se obtiene al identificar dos líneas paralelas excepto el origen; es decir, es una línea afín con el origen duplicado. (Se puede demostrar que Z no es un esquema separado .) Por el contrario, si se pegan dos líneas de modo que el origen en una línea corresponda al punto (ilusorio) en el infinito para la otra línea; es decir, se utiliza el isomorfismo , entonces el esquema resultante es, al menos visualmente, la línea proyectiva . ${\displaystyle X,Y,X_{t},Y_{u}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle X_{t}\simeq Y_{u}}$ ${\displaystyle t\leftrightarrow u}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle t^{-1}\leftrightarrow u}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

Productos de fibra y expulsiones de esquemas

La categoría de esquemas admite pullbacks finitos y en algunos casos pushouts finitos; ^[4] ambos se construyen mediante el pegado de esquemas afines. Para los esquemas afines, los productos de fibras y los pushouts corresponden a productos tensoriales y cuadrados de fibras de álgebras.

Referencias

1. Hartshorne 1977, Cap. II, Ejercicio 2.12.
2. Vakil 2017, § 4.4.6.
3. Vakil 2017, § 4.4.5.
4. "Sección 37.14 (07RS): Expulsiones en la categoría de esquemas, I—El proyecto Stacks".

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Vakil, Ravi (18 de noviembre de 2017). "Matemáticas 216: Fundamentos de geometría algebraica".

Lectura adicional

• Proyecto Stacks , 26.14 Esquemas de encolado