Teorema de Lang

En geometría algebraica , el teorema de Lang , introducido por Serge Lang , establece: si G es un grupo algebraico suave conexo sobre un cuerpo finito , entonces, escribiendo para Frobenius, el morfismo de variedades ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ ${\displaystyle \sigma :G\to G,\,x\mapsto x^{q}}$

${\displaystyle G\to G,\,x\mapsto x^{-1}\sigma (x)}$ 

es sobreyectiva. Nótese que el núcleo de este mapa (es decir, ) es precisamente . ${\displaystyle G=G({\overline {\mathbf {F} _{q}}})\to G({\overline {\mathbf {F} _{q}}})}$ ${\displaystyle G(\mathbf {F} _{q})}$

El teorema implica que   se anula ^[1] y, en consecuencia, cualquier fibrado G en es isomorfo al trivial. Además, el teorema juega un papel básico en la teoría de grupos finitos de tipo Lie . ${\displaystyle H^{1}(\mathbf {F} _{q},G)=H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{1}(\operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q},G)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q}}$

No es necesario que G sea afín. Por lo tanto, el teorema también se aplica a variedades abelianas (por ejemplo, curvas elípticas ). De hecho, esta aplicación fue la motivación inicial de Lang. Si G es afín, la función de Frobenius puede reemplazarse por cualquier función sobreyectiva con un número finito de puntos fijos (ver más abajo el enunciado preciso). ${\displaystyle \sigma }$

La prueba (que se da a continuación) en realidad se cumple para cualquier que induzca un operador nilpotente en el álgebra de Lie de G. [ ^2] ${\displaystyle \sigma }$

El teorema de Lang-Steinberg

Steinberg  (1968) proporcionó una mejora útil al teorema.

Supongamos que F es un endomorfismo de un grupo algebraico G . La función Lang es la función de G a G tomando g hasta g ⁻¹ F ( g ).

El teorema de Lang-Steinberg establece ^[3] que si F es sobreyectiva y tiene un número finito de puntos fijos, y G es un grupo algebraico afín conexo sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, entonces la función de Lang es sobreyectiva.

Prueba del teorema de Lang

Definir:

${\displaystyle f_{a}:G\to G,\quad f_{a}(x)=x^{-1}a\sigma (x).}$

Entonces (identificando el espacio tangente en a con el espacio tangente en el elemento identidad) tenemos:

${\displaystyle (df_{a})_{e}=d(h\circ (x\mapsto (x^{-1},a,\sigma (x))))_{e}=dh_{(e,a,e)}\circ (-1,0,d\sigma _{e})=-1+d\sigma _{e}}$ 

donde . Se sigue que es biyectiva ya que la diferencial de Frobenius se anula. Como , también vemos que es biyectiva para cualquier b . ^[4] Sea X la clausura de la imagen de . Los puntos lisos de X forman un subconjunto denso abierto; por tanto, hay algún b en G tal que es un punto liso de X . Como el espacio tangente a X en y el espacio tangente a G en b tienen la misma dimensión, se sigue que X y G tienen la misma dimensión, ya que G es liso. Como G es conexo, la imagen de contiene entonces un subconjunto denso abierto U de G . Ahora, dado un elemento arbitrario a en G , por el mismo razonamiento, la imagen de contiene un subconjunto denso abierto V de G . La intersección es entonces no vacía pero entonces esto implica que a está en la imagen de . ${\displaystyle h(x,y,z)=xyz}$ ${\displaystyle (df_{a})_{e}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle f_{a}(bx)=f_{f_{a}(b)}(x)}$ ${\displaystyle (df_{a})_{b}}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{1}(b)}$ ${\displaystyle f_{1}(b)}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{a}}$ ${\displaystyle U\cap V}$ ${\displaystyle f_{1}}$

Notas

1. Esta es una "definición de desenrollado". Aquí, se trata de la cohomología de Galois ; cf. Milne, Teoría de campos de clases. ${\displaystyle H^{1}(\mathbf {F} _{q},G)=H^{1}(\operatorname {Gal} ({\overline {\mathbf {F} _{q}}}/\mathbf {F} _{q}),G({\overline {\mathbf {F} _{q}}}))}$
2. Springer 1998, Ejercicio 4.4.18.
3. Steinberg 1968, Teorema 10.1
4. Esto implica que es étale . ${\displaystyle f_{a}}$

Referencias

• Springer, TA (1998). Grupos algebraicos lineales (2.ª ed.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-4021-5.OCLC 38179868  .
• Lang, Serge (1956), "Grupos algebraicos sobre cuerpos finitos", American Journal of Mathematics , 78 : 555–563, doi :10.2307/2372673, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372673, MR  0086367
• Steinberg, Robert (1968), Endomorfismos de grupos algebraicos lineales, Memorias de la American Mathematical Society, n.º 80, Providence, RI: American Mathematical Society , MR  0230728