En matemáticas , la topología geométrica es el estudio de las variedades y los mapas entre ellas, particularmente las incrustaciones de una variedad en otra.
Se puede decir que la topología geométrica como un área distinta de la topología algebraica se originó en la clasificación de 1935 de los espacios de lentes por torsión de Reidemeister , que requería distinguir espacios que son homotópicamente equivalentes pero no homeomorfos . Este fue el origen de la teoría de homotopía simple . El uso del término topología geométrica para describir estos espacios parece haberse originado bastante recientemente. [1]
Los colectores difieren radicalmente en su comportamiento en alta y baja dimensión.
La topología de alta dimensión se refiere a variedades de dimensión 5 y superior, o en términos relativos, incrustaciones en codimensión 3 y superior. La topología de baja dimensión se ocupa de preguntas en dimensiones de hasta 4, o incrustaciones en codimensión de hasta 2.
La dimensión 4 es especial, en el sentido de que en algunos aspectos (topológicamente), la dimensión 4 es de alta dimensión, mientras que en otros aspectos (diferenciablemente), la dimensión 4 es de baja dimensión; esta superposición produce fenómenos excepcionales a la dimensión 4, como estructuras diferenciables exóticas en R 4 . Por lo tanto, la clasificación topológica de 4-variedades es en principio manejable, y las preguntas clave son: ¿una variedad topológica admite una estructura diferenciable, y si es así, cuántas? En particular, el caso suave de dimensión 4 es el último caso abierto de la conjetura generalizada de Poincaré ; véase Giros de Gluck .
La distinción se debe a que la teoría de la cirugía funciona en dimensiones 5 y superiores (de hecho, en muchos casos, funciona topológicamente en dimensión 4, aunque es muy complicado demostrarlo), y por lo tanto el comportamiento de las variedades en dimensión 5 y superiores puede estudiarse utilizando el programa de teoría de la cirugía. En dimensión 4 y menores (topológicamente, en dimensión 3 y menores), la teoría de la cirugía no funciona. De hecho, un enfoque para analizar variedades de baja dimensión es preguntar "¿qué predeciría la teoría de la cirugía como verdadero, si funcionara?", y luego entender los fenómenos de baja dimensión como desviaciones de esto.
La razón precisa de la diferencia en la dimensión 5 es que el teorema de incrustación de Whitney , el truco técnico clave que subyace a la teoría de la cirugía, requiere 2+1 dimensiones. En términos generales, el truco de Whitney permite "deshacer" las esferas anudadas; más precisamente, eliminar las autointersecciones de las inmersiones; lo hace mediante una homotopía de un disco (el disco tiene 2 dimensiones y la homotopía agrega 1 más) y, por lo tanto, en codimensiones mayores que 2, esto se puede hacer sin intersecarse a sí mismo; por lo tanto, las incrustaciones en codimensiones mayores que 2 se pueden entender mediante cirugía. En la teoría de la cirugía, el paso clave está en la dimensión media y, por lo tanto, cuando la dimensión media tiene una codimensión mayor que 2 (en términos generales, 2½ es suficiente, por lo tanto, la dimensión total 5 es suficiente), el truco de Whitney funciona. La consecuencia clave de esto es el teorema de h -cobordismo de Smale , que funciona en la dimensión 5 y superiores, y forma la base de la teoría de la cirugía.
Una modificación del truco de Whitney puede funcionar en 4 dimensiones y se denomina asas de Casson : como no hay suficientes dimensiones, un disco de Whitney introduce nuevos pliegues que pueden resolverse con otro disco de Whitney, lo que da lugar a una secuencia ("torre") de discos. El límite de esta torre produce un mapa topológico pero no diferenciable, por lo que la cirugía funciona topológicamente pero no diferenciablemente en la dimensión 4.
En todas las dimensiones, el grupo fundamental de una variedad es un invariante muy importante y determina gran parte de la estructura; en las dimensiones 1, 2 y 3, los grupos fundamentales posibles están restringidos, mientras que en la dimensión 4 y superiores, cada grupo finitamente presentado es el grupo fundamental de una variedad (nótese que es suficiente mostrar esto para variedades de 4 y 5 dimensiones, y luego tomar productos con esferas para obtener otros superiores).
Una variedad es orientable si tiene una elección consistente de orientación , y una variedad orientable conexa tiene exactamente dos orientaciones posibles diferentes. En este contexto, se pueden dar varias formulaciones equivalentes de orientabilidad, dependiendo de la aplicación deseada y el nivel de generalidad. Las formulaciones aplicables a variedades topológicas generales a menudo emplean métodos de teoría de homología , mientras que para variedades diferenciables hay más estructura presente, lo que permite una formulación en términos de formas diferenciales . Una generalización importante de la noción de orientabilidad de un espacio es la de la orientabilidad de una familia de espacios parametrizados por algún otro espacio (un haz de fibras ) para el cual se debe seleccionar una orientación en cada uno de los espacios que varía continuamente con respecto a los cambios en los valores de los parámetros.
Una descomposición de mango de una variedad m M es una unión
donde cada uno se obtiene mediante la adición de - identificadores . Una descomposición de identificador es a una variedad lo que una descomposición CW es a un espacio topológico: en muchos aspectos, el propósito de una descomposición de identificador es tener un lenguaje análogo a los complejos CW, pero adaptado al mundo de las variedades suaves . Por lo tanto, un i -identificador es el análogo suave de una i -celda. Las descomposiciones de identificadores de variedades surgen naturalmente a través de la teoría de Morse . La modificación de las estructuras de identificadores está estrechamente vinculada a la teoría de Cerf .
La planitud local es una propiedad de una subvariedad en una variedad topológica de mayor dimensión . En la categoría de variedades topológicas, las subvariedades localmente planas desempeñan un papel similar al de las subvariedades incrustadas en la categoría de variedades suaves .
Supóngase que una variedad d -dimensional N está embebida en una variedad n -dimensional M (donde d < n ). Si decimos que N es localmente plana en x si existe un entorno de x tal que el par topológico es homeomorfo al par , con una inclusión estándar de como subespacio de . Es decir, existe un homeomorfismo tal que la imagen de coincide con .
El teorema generalizado de Schoenflies establece que, si una esfera ( n − 1)-dimensional S está incrustada en la esfera n -dimensional S n de una manera localmente plana (es decir, la incrustación se extiende a la de una esfera engrosada), entonces el par ( S n , S ) es homeomorfo al par ( S n , S n −1 ), donde S n −1 es el ecuador de la n -esfera. Brown y Mazur recibieron el Premio Veblen por sus pruebas independientes [2] [3] de este teorema.
La topología de baja dimensión incluye:
Cada uno tiene su propia teoría, donde hay algunas conexiones.
La topología de baja dimensión es fuertemente geométrica, como se refleja en el teorema de uniformización en 2 dimensiones – cada superficie admite una métrica de curvatura constante; geométricamente, tiene una de 3 geometrías posibles: curvatura positiva/esférica, curvatura cero/plana, curvatura negativa/hiperbólica – y la conjetura de geometrización (ahora teorema) en 3 dimensiones – cada 3-variedad se puede cortar en pedazos, cada uno de los cuales tiene una de 8 geometrías posibles.
La topología bidimensional puede estudiarse como geometría compleja en una variable ( las superficies de Riemann son curvas complejas) – por el teorema de uniformización cada clase conforme de métricas es equivalente a una única clase compleja, y la topología 4-dimensional puede estudiarse desde el punto de vista de la geometría compleja en dos variables (superficies complejas), aunque no toda 4-variedad admite una estructura compleja.
La teoría de nudos es el estudio de los nudos matemáticos . Aunque está inspirada en los nudos que aparecen en la vida cotidiana en los cordones de los zapatos y las cuerdas, el nudo matemático difiere en que los extremos están unidos de modo que no se puede deshacer. En lenguaje matemático, un nudo es una incrustación de un círculo en el espacio euclidiano tridimensional , R 3 (ya que estamos usando topología, un círculo no está ligado al concepto geométrico clásico, sino a todos sus homeomorfismos ). Dos nudos matemáticos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro a través de una deformación de R 3 sobre sí mismo (conocida como isotopía ambiental ); estas transformaciones corresponden a manipulaciones de una cuerda anudada que no implican cortar la cuerda o pasar la cuerda a través de sí misma.
Para obtener más información, los matemáticos han generalizado el concepto de nudo de varias maneras. Los nudos se pueden considerar en otros espacios tridimensionales y se pueden utilizar objetos distintos de los círculos; véase nudo (matemáticas) . Los nudos de dimensiones superiores son esferas de n dimensiones en un espacio euclidiano de m dimensiones.
En la topología de alta dimensión, las clases características son un invariante básico y la teoría de la cirugía es una teoría clave.
Una clase característica es una forma de asociar a cada fibrado principal en un espacio topológico X una clase de cohomología de X . La clase de cohomología mide el grado en el que el fibrado está "torcido" - en particular, si posee secciones o no. En otras palabras, las clases características son invariantes globales que miden la desviación de una estructura de producto local con respecto a una estructura de producto global. Son uno de los conceptos geométricos unificadores en topología algebraica , geometría diferencial y geometría algebraica .
La teoría de la cirugía es un conjunto de técnicas utilizadas para producir una variedad a partir de otra de una manera "controlada", introducida por Milnor (1961). La cirugía se refiere a cortar partes de la variedad y reemplazarlas con una parte de otra variedad, coincidiendo a lo largo del corte o límite. Esto está estrechamente relacionado con las descomposiciones de cuerpos de manija , pero no es idéntico a ellas . Es una herramienta importante en el estudio y la clasificación de variedades de dimensión mayor que 3.
Más técnicamente, la idea es empezar con una variedad M bien entendida y realizar una cirugía en ella para producir una variedad M ′ que tenga alguna propiedad deseada, de tal manera que se conozcan los efectos sobre la homología , los grupos de homotopía u otros invariantes interesantes de la variedad.
La clasificación de esferas exóticas por Kervaire y Milnor (1963) condujo al surgimiento de la teoría de la cirugía como una herramienta importante en la topología de alta dimensión.
