En geometría euclidiana , un polígono equiangular es un polígono cuyos ángulos en los vértices son iguales. Si las longitudes de los lados también son iguales (es decir, si también es equilátero ) entonces es un polígono regular . Los polígonos isogonales son polígonos equiangulares que alternan dos longitudes de aristas.
Para mayor claridad, un polígono equiangular plano puede denominarse directo o indirecto . Un polígono equiangular directo tiene todos los ángulos que giran en la misma dirección en un plano y puede incluir múltiples giros . Los polígonos equiangulares convexos siempre son directos. Un polígono equiangular indirecto puede incluir ángulos que giran hacia la derecha o hacia la izquierda en cualquier combinación. Un polígono equiangular sesgado puede ser isogonal , pero no puede considerarse directo ya que no es plano.
Un espirolátero n θ es un caso especial de un polígono equiangular con un conjunto de n longitudes de aristas enteras que se repiten en secuencia hasta regresar al inicio, con ángulos internos del vértice θ.
Construcción
Un polígono equiangular se puede construir a partir de un polígono regular o un polígono en estrella regular donde los bordes se extienden como líneas infinitas . Cada borde se puede mover de forma independiente perpendicular a la dirección de la línea. Los vértices representan el punto de intersección entre pares de líneas vecinas. Cada línea movida ajusta la longitud de su borde y la longitud de sus dos bordes vecinos. [1] Si los bordes se reducen a longitud cero, el polígono se degenera, o si se reduce a longitudes negativas , esto invertirá los ángulos internos y externos.
Para un polígono equiangular directo de lados pares, con ángulos internos θ°, mover aristas alternas puede invertir todos los vértices en ángulos suplementarios , 180-θ°. Los polígonos equiangulares directos de lados impares sólo se pueden invertir parcialmente, dejando una mezcla de ángulos suplementarios.
Cada polígono equiangular puede ajustarse en proporciones mediante esta construcción y aún así conservar su estado equiangular.
Teorema del polígono equiangular
Para un p -gon equiangular convexo , cada ángulo interno es 180(1-2/ p )°; este es el teorema del polígono equiangular .
Para un polígono estrella p / q equiangular directo , densidad q , cada ángulo interno es 180(1-2 q / p )°, con 1<2 q < p . Para w =gcd( p , q )>1, esto representa un polígono de estrella w -herido ( p / w )/( q / w ), que es degenerado para el caso normal.
Un cóncavo indirecto equiangular ( p r + p l ) -gon, con p r vértices de giro a la derecha y p l vértices de giro a la izquierda, tendrá ángulos internos de 180(1-2/| p r - p l |))°, independientemente de su secuencia. Una estrella indirecta equiangular ( p r + p l ) -gon, con p r vértices de giro a la derecha y p l vértices de giro a la izquierda y q giros totales , tendrá ángulos internos de 180(1-2 q /| p r - p l | ))°, independientemente de su secuencia. Un polígono equiangular con el mismo número de giros a la derecha y a la izquierda tiene cero giros totales y no tiene restricciones en sus ángulos.
Los p -gons equiangulares convexos < p > tienen ángulos internos de 180 (1-2/ p ) °, mientras que los polígonos equiangulares en estrella directos, < p / q >, tienen ángulos internos de 180 (1-2 q / p ) °.
A un p -gón equiangular indirecto cóncavo se le puede dar la notación < p -2 c >, con c vértices en contragiro. Por ejemplo, <6-2> es un hexágono con ángulos internos de diferencia de 90°, <4>, 1 vértice contragirado. A un p -gon equilátero indirecto de múltiples vueltas se le puede dar la notación < p -2 c / q > con c vértices de contragiro y q giros totales . Un polígono equiangular < p - p > es un p -gon con ángulos internos θ indefinidos, pero se puede expresar explícitamente como < p - p > θ .
La suma de distancias desde un punto interior hasta los lados de un polígono equiangular no depende de la ubicación del punto y es la invariante de ese polígono.
Un polígono cíclico es equiangular si y sólo si los lados alternos son iguales (es decir, los lados 1, 3, 5,... son iguales y los lados 2, 4,... son iguales). Por tanto, si n es impar, un polígono cíclico es equiangular si y sólo si es regular. [3]
Para p primo, todo p -gón equiangular de lados enteros es regular. Además, todo p k -gon equiangular de lados enteros tiene simetría rotacional p veces mayor . [4]
Un conjunto ordenado de longitudes de lados da lugar a un n -gón equiangular si y sólo si cualquiera de dos condiciones equivalentes se cumple para el polinomio es igual a cero en el valor complejo por el que es divisible por [5]
Polígonos equiangulares directos por lados
Los polígonos equiangulares directos pueden ser de simetría regular, isogonal o inferior. Los ejemplos de < p / q > se agrupan en secciones por p y subgrupos por densidad q .
Triángulos equiángulos
Los triángulos equiángulos deben ser convexos y tener ángulos internos de 60°. Es un triángulo equilátero y un triángulo regular , <3>={3}. El único grado de libertad es la longitud del borde.
Regular, {3}, r 6
Cuadriláteros equiángulos
Un rectángulo diseccionado en una matriz de cuadrados de 2 × 3 [6]
Los cuadriláteros equiangulares directos tienen ángulos internos de 90°. Los únicos cuadriláteros equiangulares son los rectángulos , <4> y los cuadrados , {4}.
Un cuadrilátero equiangular con longitudes de lados enteras se puede revestir con cuadrados unitarios . [6]
Los endecágonos equiangulares directos , <11>, <11/2>, <11/3>, <11/4> y <11/5> tienen 147 3/11°, 114 6/11°, 81 9/11°. , 49 1/11° y 16 4/11° ángulos internos respectivamente.
Ángulos internos de 147° desde un endecágono equiangular , <11>
Regular, {11}, r 22
Ángulos internos de 114° a partir de un endecagramo equiangular , <11/2>
Regular {11/2}, r 22
Ángulos internos de 81° a partir de un endecagramo equiángulo , <11/3>
Regular {11/3}, r 22
Ángulos internos de 49° a partir de un endecagramo equiángulo , <11/4>
Regular {11/4}, r 22
Ángulos internos de 16° a partir de un endecagramo equiangular , <11/5>
Regular {11/5}, r 22
Dodecágonos equiangulares
Los dodecágonos equiangulares directos , <12>, <12/2>, <12/3>, <12/4> y <12/5> tienen ángulos internos de 150°, 120°, 90°, 60° y 30°. respectivamente.
Ángulos internos de 150° desde un dodecágono equiangular , <12>
Las soluciones convexas con longitudes de borde enteras se pueden combinar con bloques de patrón , cuadrados, triángulos equiláteros y rombos de 30° . [6]
^ Marius Munteanu, Laura Munteanu, Matemáticas aplicadas de polígonos racionales equiangulares, Vol.4 No.10, octubre de 2013
^ Elias Abboud "Sobre el teorema de Viviani y sus extensiones" págs.2, 11
^ De Villiers, Michael, "Polígonos circunscritos equiangulares cíclicos y equiláteros", Mathematical Gazette 95, marzo de 2011, 102-107.
^ McLean, K. Robin. "Una poderosa herramienta algebraica para polígonos equiangulares", Mathematical Gazette 88, noviembre de 2004, 513-514.
^ M. Bras-Amorós, M. Pujol: "Longitudes laterales de polígonos equiangulares (vistas por un teórico de la codificación)", The American Mathematical Monthly , vol. 122, n. 5, págs. 476–478, mayo de 2015. ISSN 0002-9890.
^ abcde Ball, Derek (2002), "Polígonos equiangulares", The Mathematical Gazette , 86 (507): 396–407, doi :10.2307/3621131, JSTOR 3621131, S2CID 233358516.
Williams, R. La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Nueva York: Publicaciones de Dover , 1979. p. 32
enlaces externos
Una propiedad de los polígonos equiangulares: ¿de qué se trata? una discusión sobre el teorema de Viviani en Cut-the-knot .
