Hexadecágono

Polígono con 16 aristas

En matemáticas, un hexadecágono (a veces llamado hexaidecágono o 16-gono ) es un polígono de dieciséis lados . ^[1]

Hexadecágono regular

Un hexadecágono regular es un hexadecágono en el que todos los ángulos son iguales y todos los lados son congruentes. Su símbolo de Schläfli es {16} y puede construirse como un octógono truncado , t{8}, y un cuadrado truncado dos veces tt{4}. Un hexadecágono truncado, t{16}, es un triacontadígono, {32}.

Construcción

Como 16 = 2 ⁴ (una potencia de dos ), un hexadecágono regular se puede construir utilizando compás y regla : esto ya lo sabían los antiguos matemáticos griegos. ^[2]

Medidas

Cada ángulo de un hexadecágono regular mide 157,5 grados y la medida total del ángulo de cualquier hexadecágono es 2520 grados.

El área de un hexadecágono regular con longitud de arista t es

${\displaystyle {\begin{aligned}A=4t^{2}\cot {\frac {\pi }{16}}=&4t^{2}\left(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\right)\\=&4t^{2}({\sqrt {2}}+1)({\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}+1).\end{aligned}}}$

Como el hexadecágono tiene un número de lados que es una potencia de dos , su área se puede calcular en términos del radio circunscrito R truncando la fórmula de Viète :

${\displaystyle A=R^{2}\cdot {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}=4R^{2}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}.}$

Dado que el área del círculo circunscrito es el hexadecágono regular, llena aproximadamente el 97,45% de su círculo circunscrito. ${\displaystyle \pi R^{2},}$

Simetría

El hexadecágono regular tiene simetría Dih ₁₆ , orden 32. Hay 4 subgrupos diedros: Dih ₈ , Dih ₄ , Dih ₂ y Dih ₁ , y 5 subgrupos cíclicos : Z ₁₆ , Z ₈ , Z ₄ , Z ₂ y Z ₁ , este último implica que no hay simetría.

En el hexadecágono regular, hay 14 simetrías distintas. John Conway etiqueta la simetría completa como r32 y la ausencia de simetría como a1 . Las simetrías diedras se dividen según pasen por vértices ( d para diagonales) o aristas ( p para perpendiculares). Las simetrías cíclicas en la columna del medio se etiquetan como g para sus órdenes de giro centrales. ^[3]

Los hexadecágonos de alta simetría más comunes son d16 , un hexadecágono isogonal construido con ocho espejos que pueden alternar aristas largas y cortas, y p16 , un hexadecágono isotoxal construido con longitudes de aristas iguales, pero vértices que alternan dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del hexadecágono regular.

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Solo el subgrupo g16 no tiene grados de libertad pero puede verse como aristas dirigidas .

Disección

Coxeter afirma que cada zonógono (un 2 m -gono cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) puede diseccionarse en m ( m -1)/2 paralelogramos. ^[4] En particular, esto es cierto para polígonos regulares con un número uniforme de lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el hexadecágono regular , m = 8, y puede dividirse en 28: 4 cuadrados y 3 conjuntos de 8 rombos. Esta descomposición se basa en una proyección de polígono de Petrie de un 8-cubo , con 28 de 1792 caras. La lista OEIS : A006245 enumera el número de soluciones como 1232944, incluidas rotaciones de hasta 16 pliegues y formas quirales en reflexión.

Hexadecágono oblicuo

Un hexadecágono oblicuo es un polígono oblicuo con 24 vértices y aristas pero que no se encuentran en el mismo plano. El interior de un hexadecágono de este tipo no suele estar definido. Un hexadecágono oblicuo en zigzag tiene vértices que se alternan entre dos planos paralelos.

Un hexadecágono oblicuo regular es transitivo en sus vértices y tiene las mismas longitudes de aristas. En tres dimensiones, será un hexadecágono oblicuo en zigzag y se puede observar en los vértices y aristas laterales de un antiprisma octagonal con la misma simetría D _8d , [2 ⁺ ,16], orden 32. El antiprisma octagrámico , s{2,16/3} y el antiprisma octagrámico cruzado , s{2,16/5} también tienen octógonos oblicuos regulares.

Polígonos de Petrie

El hexadecágono regular es el polígono de Petrie para muchos politopos de dimensiones superiores, que se muestran en estas proyecciones ortogonales sesgadas , entre ellas:

Cifras relacionadas

Un hexadecagrama es un polígono estrellado de 16 lados, representado por el símbolo {16/n}. Hay tres polígonos estrellados regulares , {16/3}, {16/5}, {16/7}, que utilizan los mismos vértices, pero conectan cada tercer, quinto o séptimo punto. También hay tres compuestos: {16/2} se reduce a 2{8} como dos octógonos , {16/4} se reduce a 4{4} como cuatro cuadrados y {16/6} se reduce a 2{8/3} como dos octagramas , y finalmente {16/8} se reduce a 8{2} como ocho digónes .

Truncamientos más profundos del octágono y octagrama regulares pueden producir formas de hexadecagrama intermedio isogonales ( transitivas de vértice ) con vértices igualmente espaciados y dos longitudes de arista. ^[5]

Un octágono truncado es un hexadecágono, t{8}={16}. Un octágono cuasitruncado, invertido como {8/7}, es un hexadecagrama: t{8/7}={16/7}. Un octagrama truncado {8/3} es un hexadecagrama: t{8/3}={16/3} y un octagrama cuasitruncado, invertido como {8/5}, es un hexadecagrama: t{8/5}={16/5}.

En el arte

La torre hexadecagonal de Los desposorios de la Virgen de Rafael

A principios del siglo XVI, Rafael fue el primero en construir una imagen en perspectiva de un hexadecágono regular: la torre de su pintura Los desposorios de la Virgen tiene 16 lados, ampliando la torre de ocho lados de una pintura anterior de Pietro Perugino . ^[6]

Un patrón hexadecagramático de la Alhambra

Los hexadecagramas ( polígonos estrellados de 16 lados ) están incluidos en los patrones Girih de la Alhambra . ^[7]

Hexadecágonos irregulares

Una estrella octogonal puede verse como un hexadecágono cóncavo:

Este último se ve en muchas arquitecturas, desde la cristiana hasta la islámica, y también en el logotipo de IRIB TV4 .

Véase también

• Octagrama
• Red de líneas de rumbo

Referencias

1. Weisstein, Eric W. (2002). Enciclopedia concisa de matemáticas de la CRC, segunda edición . CRC Press. pág. 1365. ISBN 9781420035223.
2. Koshy, Thomas (2007), Teoría elemental de números con aplicaciones (2.ª ed.), Academic Press, pág. 142, ISBN 9780080547091.
3. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos generalizados de Schaefli, Tipos de simetría de un polígono, págs. 275-278) 
4. Coxeter , Recreaciones matemáticas y ensayos, decimotercera edición, pág. 141
5. El lado más luminoso de las matemáticas: Actas de la Conferencia en memoria de Eugène Strens sobre matemáticas recreativas y su historia (1994), Metamorfosis de polígonos , Branko Grünbaum
6. Speiser, David (2011), "Arquitectura, matemáticas y teología en las pinturas de Rafael", en Williams, Kim (ed.), Crossroads: History of Science, History of Art. Essays by David Speiser, vol. II , Springer, pp. 29–39, doi :10.1007/978-3-0348-0139-3_3. Publicado originalmente en Nexus III: Arquitectura y Matemáticas , Kim Williams , ed. (Ospedaletto, Pisa: Pacini Editore, 2000), págs. 147-156.
7. Hankin, E. Hanbury (mayo de 1925), "Ejemplos de métodos para dibujar patrones arabescos geométricos", The Mathematical Gazette , 12 (176): 370–373, doi :10.2307/3604213.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Hexadecágono". MathWorld .