En geometría euclidiana , una espirolateral es un polígono creado por una secuencia de ángulos internos de vértice fijos y longitudes de arista secuenciales 1,2,3,..., n que se repiten hasta que la figura se cierra. El número de repeticiones necesarias se denomina ciclos. [1] Una espirolateral simple solo tiene ángulos positivos. Una espiral simple se aproxima a una porción de una espiral arquimediana . Una espirolateral general permite ángulos positivos y negativos.
Un espirolateral que se completa en una vuelta es un polígono simple , mientras que uno que requiere más de una vuelta es un polígono estrella y debe ser autocruzado. [2] Un espirolateral simple puede ser un polígono simple equiangular < p > con p vértices, o un polígono estrella equiangular < p / q > con p vértices y q vueltas.
Las espirolaterales fueron inventadas y bautizadas por Frank C. Odds cuando era adolescente en 1962, como espirolaterales cuadradas con ángulos de 90°, dibujadas en papel cuadriculado . En 1970, Odds descubrió que las espirolaterales triangulares y hexagonales , con ángulos de 60° y 120°, se pueden dibujar en papel cuadriculado isométrico [3] (triangular). [4] Odds le escribió a Martin Gardner , quien lo animó a publicar los resultados en Mathematics Teacher [5] en 1973. [3]
El proceso se puede representar en gráficos de tortuga , alternando el ángulo de giro y las instrucciones de avance, pero limitando el giro a un ángulo racional fijo. [2]
El golígono más pequeño es un espirolateral, de 7 90° 4 , formado por 7 ángulos rectos y longitud 4 , que sigue giros cóncavos. Los golígonos se diferencian en que deben cerrarse con una única secuencia 1,2,3,.. n , mientras que un espirolateral repetirá esa secuencia hasta que se cierre.
Una espirolateral simple tiene vueltas todas en la misma dirección. [2] Se denota por n θ , donde n es el número de longitudes de aristas enteras secuenciales y θ es el ángulo interno , como cualquier divisor racional de 360°. Las longitudes de aristas secuenciales se pueden expresar explícitamente como (1,2,..., n ) θ .
Nota: El ángulo θ puede ser confuso porque representa el ángulo interno, mientras que el ángulo de giro suplementario puede tener más sentido. Estos dos ángulos son iguales para 90°.
Esto define un polígono equiangular de la forma < kp / kq >, donde el ángulo θ = 180(1−2 q / p ), con k = n / d , y d = mcd ( n , p ). Si d = n , el patrón nunca se cierra. De lo contrario, tiene kp vértices y kq densidad . La simetría cíclica de un espirolateral simple es p / d -fold.
Un polígono regular , { p }, es un caso especial de espirolateral, 1 180(1−2/ p )° . Un polígono regular en estrella , { p / q }, es un caso especial de espirolateral, 1 180(1−2 q / p )° . Un polígono isogonal , es un caso especial de espirolateral, 2 180(1−2/ p )° o 2 180(1−2 q / p )° .
Una espirolateral general puede girar hacia la izquierda o hacia la derecha. [2] Se denota por n θ a 1 ,..., a k , donde a i son índices con ángulos negativos o cóncavos. [6] Por ejemplo, 2 60° 2 es un rectángulo cruzado con ángulos internos de ±60°, que se dobla hacia la izquierda o hacia la derecha.
Una espiral lateral cerrada inesperada regresa al primer vértice en un solo ciclo. Solo las espirolaterales generales pueden no cerrarse. Un golígono es una espiral lateral cerrada inesperada regular que se cierra desde la dirección esperada. Una espiral lateral cerrada inesperada irregular es aquella que regresa al primer punto pero desde la dirección incorrecta. Por ejemplo, 7 90° 4 . Se necesitan 4 ciclos para regresar al inicio en la dirección correcta. [2]
Un espirolateral moderno , también llamado loop-de-loops [7] por la educadora Anna Weltman, se denota por ( i 1 ,..., i n ) θ , permitiendo cualquier secuencia de números enteros como longitudes de arista, i 1 a i n . [8] Por ejemplo, (2,3,4) 90° tiene longitudes de arista 2,3,4 que se repiten. A los giros en direcciones opuestas se les puede dar una longitud de arista entera negativa. Por ejemplo, un rectángulo cruzado se puede dar como (1,2,−1,−2) θ .
Una espirolateral abierta nunca se cierra. Una espirolateral simple, n θ , nunca se cierra si n θ es un múltiplo de 360°, mcd( p , n ) = p . Una espirolateral general también puede estar abierta si la mitad de los ángulos son positivos y la otra mitad negativos.
Se puede calcular el número de ciclos necesarios para cerrar una espirolateral , n θ , con k vueltas opuestas, p / q = 360/(180- θ ). Reducir la fracción ( p -2 q )( n -2 k )/2 p = a / b . La figura se repite después de b ciclos y completa un total de vueltas . Si b = 1, la figura nunca se cierra. [1]
Explícitamente, el número de ciclos es 2 p / d , donde d = mcd (( p -2 q )( n -2 k ),2 p ). Si d = 2 p , se cierra en 1 ciclo o nunca.
El número de ciclos puede verse como el orden de simetría rotacional del espirolateral.
Los espirolaterales se pueden construir a partir de cualquier divisor racional de 360°. Las columnas de la primera tabla muestran ángulos de polígonos regulares pequeños y las de la segunda tabla, de polígonos en estrella, con ejemplos hasta n = 6.
Un polígono equiangular < p / q > tiene p vértices y q densidad. < np / nq > se puede reducir mediante d = mcd( n , p ).
