golygon

El golígono más pequeño tiene 8 lados. Es la única solución con menos de 16 lados. Contiene dos esquinas cóncavas y encaja en una cuadrícula de 8×10. También es espirolateral , 8 _90° ^1,5 .

Un golígono , o más generalmente un isógono serial de 90° , es cualquier polígono con todos los ángulos rectos (un polígono rectilíneo ) cuyos lados son longitudes enteras consecutivas . Los golygons fueron inventados y nombrados por Lee Sallows , y popularizados por AK Dewdney en una columna de Scientific American de 1990 (Smith). ^[1] Las variaciones en la definición de golígonos implican permitir que los bordes se crucen, usar secuencias de longitudes de bordes distintas de los números enteros consecutivos y considerar ángulos de giro distintos de 90°. ^[2]

Propiedades

En cualquier golígono, todas las aristas horizontales tienen la misma paridad entre sí, al igual que todas las aristas verticales. Por tanto, el número n de lados debe permitir la solución del sistema de ecuaciones

${\displaystyle \pm 1\pm 3\pm \cdots \pm (n-1)=0}$

${\displaystyle \pm 2\pm 4\pm \cdots \pm n=0.}$

De esto se deduce que n debe ser múltiplo de 8. Por ejemplo, en la figura tenemos y . ${\displaystyle -1+3+5-7=0}$ ${\displaystyle 2-4-6+8=0}$

El número de golígonos para un valor permisible dado de n se puede calcular de manera eficiente utilizando funciones generadoras (secuencia A007219 en OEIS ). El número de golígonos para valores permisibles de n es 4, 112, 8432, 909288, etc. ^[3] Encontrar el número de soluciones que corresponden a golígonos que no se cruzan parece ser significativamente más difícil.

Hay un golygon único de ocho lados (que se muestra en la figura); puede mosaico el plano mediante una rotación de 180 grados utilizando el criterio de Conway .

Ejemplos

• 
  Golígono de 16 lados. Espirolateral 16 _90° ^1,3,6,8,11
• 
  Golígono de 32 lados. Espirolateral 32 _90° ^{1,3,5,7,11,12,14,17,19,21,23,26,29,31}

Generalizaciones

Un isógono de lados en serie de orden n es un polígono cerrado con un ángulo constante en cada vértice y que tiene lados consecutivos de longitud 1, 2, ..., n unidades. El polígono puede autocruzarse. ^[4] Los golígonos son un caso especial de isógonos de lados seriales. ^[5]

Un espirolateral es una construcción similar, en notación n _θ ^{i ₁ , i ₂ ,..., i _k} que secuencia longitudes 1,2,3,..., n con ángulos internos θ, con opción de repetir hasta volver a cerrar con el vértice original. Los superíndices i ₁ , i ₂ ,..., i _k enumeran los bordes que siguen direcciones de giro opuestas.

• 
  Un isógono de lados en serie de orden 9, ángulo interno de 60°. ^[5]
  Espirolateral 60° ₉ ^1,4,7 .
• 
  Un isógono de lados en serie de orden 11, ángulo interno de 60°. ^[5]
  Espirolateral 60° ₁₁ ^4,5,7,8 .
• 
  Un isógono de lados en serie de orden 12, ángulo interno de 120°. ^[5]
  Espirolateral 120° ₁₂ ^1,4,8 .
• 
  Un isógono de lados en serie de orden 5, ángulos internos de 60° y 120°. ^[5]

golioedro

La generalización tridimensional de un golígono se llama golyedro : una figura sólida cerrada simplemente conexa confinada a las caras de una red cúbica y que tiene áreas de caras en la secuencia 1, 2, ..., n , para algún número entero n , introducido por primera vez en una pregunta de MathOverflow. ^{[6] [7]}

Se han encontrado golyedros con valores de n iguales a 32, 15, 12 y 11 (el mínimo posible). ^[8]

Referencias

1. Dewdney, Alaska (1990). "Un viaje extraño por caminos uniformes conduce a casa en Golygon City". Científico americano . 263 : 118-121. doi : 10.1038/scientificamerican0790-118.
2. Harry J. Smith. "¿Qué es un Golygon?". Archivado desde el original el 27 de octubre de 2009.
3. Weisstein, Eric W. "Golygon". MundoMatemático .
4. Cetrino, Lee (1992). "Nuevas vías en isógonos seriales". El inteligente matemático . 14 (2): 55–67. doi :10.1007/BF03025216. S2CID  121493484.
5. Sallows, Lee; Gardner, Martín ; Chico, Richard K .; Knuth, Donald (1991). "Isogonos seriales de 90 grados". Revista Matemáticas . 64 (5): 315–324. doi :10.2307/2690648. JSTOR  2690648.
6. "¿Podemos encontrar poliedros reticulares con caras de área 1,2,3,…?"
7. Golygons y golyhedra
8. Actualización del golyedro

enlaces externos

• Golygons en la enciclopedia en línea de secuencias enteras