tetraedro

Objetos tetraédricos

En geometría , un tetraedro ( pl.: tetraedros o tetraedros ) , también conocido como pirámide triangular , es un poliedro compuesto por cuatro caras triangulares , seis aristas rectas y cuatro vértices . El tetraedro es el más simple de todos los poliedros convexos ordinarios . ^[1]

El tetraedro es el caso tridimensional del concepto más general de simplex euclidiano y, por lo tanto, también puede denominarse 3-símplex .

El tetraedro es un tipo de pirámide , que es un poliedro con una base poligonal plana y caras triangulares que conectan la base a un punto común. En el caso de un tetraedro la base es un triángulo (cualquiera de las cuatro caras puede considerarse base), por lo que al tetraedro también se le conoce como “pirámide triangular”.

Como todos los poliedros convexos , un tetraedro se puede plegar a partir de una sola hoja de papel. Tiene dos de esas redes . ^[1]

Para cualquier tetraedro existe una esfera (llamada circunsfera ) en la que se encuentran los cuatro vértices, y otra esfera (la inesfera ) tangente a las caras del tetraedro. ^[2]

tetraedro regular

Un tetraedro regular es un tetraedro en el que las cuatro caras son triángulos equiláteros . Es uno de los cinco sólidos platónicos regulares , que se conocen desde la antigüedad.

En un tetraedro regular, todas las caras tienen el mismo tamaño y forma (congruentes) y todas las aristas tienen la misma longitud.

Se colocan cinco tetraedros en un plano, con los puntos tridimensionales más altos marcados como 1, 2, 3, 4 y 5. Luego, estos puntos se unen entre sí y se deja un pequeño volumen de espacio vacío , donde se encuentran los cinco. Los ángulos de los bordes no coinciden.

Los tetraedros regulares por sí solos no forman mosaicos (llenan el espacio), pero si se alternan con octaedros regulares en una proporción de dos tetraedros por un octaedro, forman el panal cúbico alternado , que es un mosaico. Algunos tetraedros que no son regulares, incluido el ortoesquema de Schläfli y el tetraedro de Hill , pueden formar teselas.

El tetraedro regular es autodual, lo que significa que su dual es otro tetraedro regular. La figura compuesta que comprende dos de estos tetraedros duales forma un octaedro estrellado o stella octangula.

Coordenadas de un tetraedro regular

Las siguientes coordenadas cartesianas definen los cuatro vértices de un tetraedro con longitud de arista 2, centrado en el origen, y dos aristas niveladas:

\left(\pm 1,0,-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\quad {\mbox{y}}\quad \left(0,\pm 1, {\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)

Expresados simétricamente como 4 puntos de la esfera unitaria , centroide en el origen, con cara inferior paralela al plano, los vértices son: $xy$

$v_{1}=\left({\sqrt {\frac {8}{9}}},0,-{\frac {1}{3}}\right)$

$v_{2}=\left(-{\sqrt {\frac {2}{9}}},{\sqrt {\frac {2}{3}}},-{\frac {1}{ 3}}\derecha)$

$v_{3}=\left(-{\sqrt {\frac {2}{9}}},-{\sqrt {\frac {2}{3}}},-{\frac {1} {3}}\derecha)$

${\ Displaystyle v_ {4} = (0,0,1)}$

con una longitud de borde de . ${\sqrt {\frac {8}{3}}}$

Otro conjunto más de coordenadas se basa en un cubo o demicube alternado con una longitud de arista 2. Esta forma tiene un diagrama de Coxeter. y símbolo de Schläfli h{4,3}. El tetraedro en este caso tiene una longitud de arista 2 √ 2 . La inversión de estas coordenadas genera el tetraedro dual, y el par en conjunto forma el octaedro estrellado, cuyos vértices son los del cubo original.

Tetraedro: (1,1,1), (1,−1,−1), (−1,1,−1), (−1,−1,1)

Tetraedro dual: (−1,−1,−1), (−1,1,1), (1,−1,1), (1,1,−1)

Ángulos y distancias

Para un tetraedro regular de longitud de arista a :

Con respecto al plano base la pendiente de una cara (2 √ 2 ) es el doble que la de una arista ( √ 2 ), correspondiendo a que la distancia horizontal recorrida desde la base hasta el vértice a lo largo de una arista es el doble que a lo largo de la mediana de una cara. En otras palabras, si C es el centroide de la base, la distancia de C a un vértice de la base es el doble que la de C al punto medio de una arista de la base. Esto se desprende del hecho de que las medianas de un triángulo se cruzan en su centroide, y este punto divide a cada una de ellas en dos segmentos, uno de los cuales mide el doble de largo que el otro (ver prueba ).

Para un tetraedro regular con longitud de lado a , radio R de su esfera circunscrita y distancias d _i desde un punto arbitrario en el espacio tridimensional hasta sus cuatro vértices, tenemos ^[6]

{\begin{alineado}{\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{ 4}}+{\frac {16R^{4}}{9}}&=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^ {2}+d_{4}^{2}}{4}}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{2};\\4\left(a^{4 }+d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}\right)&=\left(a^{2} +d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}\right)^{2}.\end{aligned}}

Isometrías del tetraedro regular

Los vértices de un cubo se pueden agrupar en dos grupos de cuatro, cada uno formando un tetraedro regular (ver arriba, y también la animación , que muestra uno de los dos tetraedros del cubo). Las simetrías de un tetraedro regular corresponden a la mitad de las de un cubo: aquellas que asignan los tetraedros a sí mismos y no entre sí.

El tetraedro es el único sólido platónico que no se corresponde con sí mismo mediante inversión de puntos .

El tetraedro regular tiene 24 isometrías, formando el grupo de simetría T _d , [3,3], (*332), isomorfo al grupo simétrico , S ₄ . Se pueden clasificar de la siguiente manera:

T , [3,3] ⁺ , (332) es isomorfo al grupo alterno , A ₄ (la identidad y 11 rotaciones propias) con las siguientes clases de conjugación (entre paréntesis se dan las permutaciones de los vértices, o correspondientemente, las caras, y la representación del cuaternión unitario ):
- identidad (identidad; 1)
- rotación alrededor de un eje que pasa por un vértice, perpendicular al plano opuesto, en un ángulo de ±120°: 4 ejes, 2 por eje, juntos 8 ((1 2 3) , etc.;1 ± i ± j ± k/2)
- rotación en un ángulo de 180° de modo que un borde se asigne al borde opuesto: 3 ((1 2)(3 4) , etc.; i , j , k )
reflexiones en un plano perpendicular a una arista: 6
reflexiones en un plano combinadas con una rotación de 90° alrededor de un eje perpendicular al plano: 3 ejes, 2 por eje, 6 en total; de manera equivalente, son rotaciones de 90° combinadas con inversión ( x se asigna a − x ): las rotaciones corresponden a las del cubo alrededor de ejes cara a cara

Proyecciones ortogonales del tetraedro regular

El tetraedro regular tiene dos proyecciones ortogonales especiales , una centrada en un vértice o equivalentemente en una cara, y otra centrada en una arista. El primero corresponde al avión A ₂ Coxeter .

Sección transversal del tetraedro regular.

Los dos bordes opuestos perpendiculares sesgados de un tetraedro regular definen un conjunto de planos paralelos. Cuando uno de estos planos intersecta al tetraedro la sección transversal resultante es un rectángulo . ^[7] Cuando el plano de intersección está cerca de uno de los bordes, el rectángulo es largo y delgado. Cuando está a mitad de camino entre los dos bordes, la intersección es un cuadrado . La relación de aspecto del rectángulo se invierte a medida que pasa este punto medio. Para la intersección del cuadrado del punto medio, la línea límite resultante atraviesa cada cara del tetraedro de manera similar. Si el tetraedro se divide en dos en este plano, ambas mitades se convierten en cuñas .

Esta propiedad también se aplica a los difenoides tetragonales cuando se aplica a los dos pares de aristas especiales.

mosaico esférico

El tetraedro también puede representarse como un mosaico esférico y proyectarse sobre el plano mediante una proyección estereográfica . Esta proyección es conforme , conservando los ángulos pero no las áreas ni las longitudes. Las líneas rectas sobre la esfera se proyectan como arcos circulares sobre el plano.

Apilamiento helicoidal

Los tetraedros regulares se pueden apilar cara a cara en una cadena aperiódica quiral llamada hélice de Boerdijk-Coxeter .

En cuatro dimensiones , todos los 4 politopos regulares convexos con celdas tetraédricas (de 5 celdas , de 16 celdas y de 600 celdas ) pueden construirse como mosaicos de las 3 esferas mediante estas cadenas, que se vuelven periódicas en las tres dimensiones. espacio de la superficie límite del 4 politopo.

tetraedros irregulares

Los tetraedros que no tienen cuatro caras equiláteras se clasifican y nombran según las simetrías que poseen.

Si los tres pares de aristas opuestas de un tetraedro son perpendiculares , entonces se llama tetraedro ortocéntrico . Cuando sólo un par de aristas opuestas son perpendiculares, se llama tetraedro semiortocéntrico .

Un tetraedro isodinámico es aquel en el que son concurrentes las cevianas que unen los vértices a los incentros de las caras opuestas .

Un tetraedro isogónico tiene cevianas concurrentes que unen los vértices a los puntos de contacto de las caras opuestas con la esfera inscrita del tetraedro.

tetraedro trirectangular

En un tetraedro trirectangular, los tres ángulos de las caras en un vértice son ángulos rectos , como en la esquina de un cubo.

Kepler descubrió la relación entre el cubo, el tetraedro regular y el tetraedro trirectangular. ^[8]

disfenoide

Un disfenoide es un tetraedro con cuatro triángulos congruentes como caras; los triángulos necesariamente tienen todos los ángulos agudos. El tetraedro regular es un caso especial de disfenoides. Otros nombres para la misma forma incluyen bisfenoide , tetraedro isósceles y tetraedro equifacial .

Ortoesquemas

Un 3-ortoesquema es un tetraedro donde las cuatro caras son triángulos rectángulos . ^[a] Un ortosquema es un simplex irregular que es la cáscara convexa de un árbol en el que todos los bordes son mutuamente perpendiculares. En un ortoesquema tridimensional, el árbol consta de tres aristas perpendiculares que conectan los cuatro vértices en una trayectoria lineal que forma dos giros en ángulo recto. El 3-ortoesquema es un tetraedro que tiene dos ángulos rectos en cada uno de los dos vértices, por lo que otro nombre es tetraedro birectangular . También se le llama tetraedro cuadrirrectangular porque contiene cuatro ángulos rectos. ^[9]

Coxeter también llama tetraedros cuadrirrectangulares tetraedros característicos , debido a su relación integral con los politopos regulares y sus grupos de simetría. ^[10] Por ejemplo, el caso especial de un 3-ortosquema con aristas perpendiculares de igual longitud es característico del cubo , lo que significa que el cubo se puede subdividir en instancias de este ortosquema. Si sus tres aristas perpendiculares son de longitud unidad, sus aristas restantes son dos de longitud √ 2 y una de longitud √ 3 , por lo que todas sus aristas son aristas o diagonales del cubo. El cubose puede dividir en seis de estos 3-ortoesquemasde cuatro maneras diferentes, y las seis rodean la misma diagonal de √ 3 cubos. El cubo también se puede diseccionar en 48 instancias más pequeñas de este mismo 3-ortoesquema característico (de una sola manera, por todos sus planos de simetría a la vez). ^[b] El tetraedro característico del cubo es un ejemplo de tetraedro heroniano .

Todo politopo regular, incluido el tetraedro regular, tiene su ortosquema característico . ^[c] Hay un 3-ortoesquema que es el tetraedro característico del tetraedro regular . El tetraedro regularse subdivide en 24 instancias de su característico tetraedropor sus planos de simetría. ^[d]

Si el tetraedro regular tiene una longitud de arista 𝒍 = 2, las seis aristas características de su tetraedro tienen longitudes , , alrededor de su cara exterior del triángulo rectángulo (las aristas opuestas a los ángulos característicos 𝟀, , 𝟁), ^[e] más , , (aristas que son los radios característicos del tetraedro regular). El camino de 3 aristas a lo largo de las aristas ortogonales del ortoesquema es , , , primero desde un vértice de tetraedro hasta el centro de una arista de tetraedro, luego gira 90° hacia el centro de una cara de tetraedro y luego gira 90° hacia el centro del tetraedro. El ortosquema tiene cuatro caras de triángulos rectángulos diferentes. La cara exterior es un triángulo 60-90-30 que es un sexto de la cara de un tetraedro. Las tres caras interiores al tetraedro son: un triángulo rectángulo con aristas , , , un triángulo rectángulo con aristas , , , y un triángulo rectángulo con aristas , , . ${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}$ $1$ ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ ${\sqrt {\tfrac {3}{2}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ $1$ ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ $1$ ${\sqrt {\tfrac {3}{2}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ ${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}$ ${\sqrt {\tfrac {3}{2}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$

Tetraedros que llenan el espacio

Un tetraedro que llena el espacio empaqueta copias de sí mismo directamente congruentes o enantiomorfas ( imagen especular ) en el espacio en mosaico. ^[14] El cubo se puede dividir en seis 3-ortoesquemas, tres para zurdos y tres para diestros (uno de cada uno en cada cara del cubo), y los cubos pueden llenar el espacio, por lo que el 3-ortoesquema característico del cubo es un tetraedro que llena el espacio en este sentido. ^[f] Un disfenoide puede ser un tetraedro que llena el espacio en el sentido directamente congruente, como en el panal tetraédrico disfenoide . Los tetraedros regulares, sin embargo, no pueden llenar el espacio por sí solos. ^[gramo]

Dominios fundamentales

Un tetraedro irregular que es el dominio fundamental ^[15] de un grupo de simetría es un ejemplo de tetraedro Goursat . Los tetraedros de Goursat generan todos los poliedros regulares (y muchos otros poliedros uniformes) mediante reflejos especulares, un proceso conocido como construcción caleidoscópica de Wythoff .

Para los poliedros, la construcción de Wythoff dispone tres espejos en ángulo entre sí, como en un caleidoscopio . A diferencia de un caleidoscopio cilíndrico, los espejos de Wythoff están ubicados en tres caras de un tetraedro Goursat de modo que los tres espejos se cruzan en un solo punto. ^[h]

Entre los tetraedros Goursat que generan panales tridimensionales podemos reconocer un ortoesquema (el tetraedro característico del cubo), un ortoesquema doble (el tetraedro característico del cubo unido cara a cara a su imagen especular) y el disfenoide que llena el espacio ilustrado. arriba. ^[10] El diefenoides es el ortosquema doble unido por la cara a su imagen especular (un ortosquema cuádruple). Así, estos tres tetraedros de Goursat, y todos los poliedros que generan mediante reflexiones, pueden diseccionarse en tetraedros característicos del cubo .

Isometrías de tetraedros irregulares.

Las isometrías de un tetraedro irregular (sin marcar) dependen de la geometría del tetraedro, siendo posibles 7 casos. En cada caso se forma un grupo de puntos tridimensional . Pueden existir otras dos isometrías (C ₃ , [3] ⁺ ) y (S ₄ , [2 ⁺ ,4 ⁺ ]) si se incluyen las marcas de cara o borde. A continuación se incluyen diagramas tetraédricos para cada tipo, con aristas coloreadas por equivalencia isométrica y de color gris para aristas únicas.

Propiedades generales

Volumen

El volumen de un tetraedro viene dado por la fórmula del volumen de la pirámide:

V={\frac {1}{3}}A_{0}\,h\,

donde A ₀ es el área de la base y h es la altura desde la base hasta el vértice. Esto se aplica para cada una de las cuatro opciones de base, por lo que las distancias desde los ápices a las caras opuestas son inversamente proporcionales a las áreas de estas caras.

Para un tetraedro con vértices a = ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ) , b = ( b ₁ , b ₂ , b ₃ ) , c = ( c ₁ , c ₂ , c ₃ ) y d = ( d ₁ , d ₂ , d ₃ ) , el volumen es1/6| det ( una - re , segundo - re , c - re )| , o cualquier otra combinación de pares de vértices que formen un gráfico simplemente conexo . Esto se puede reescribir usando un producto escalar y un producto cruzado , dando como resultado

V={\frac {|(\mathbf {a} -\mathbf {d} )\cdot ((\mathbf {b} -\mathbf {d} )\times (\mathbf {c} -\mathbf {d} ))|}{6}}.

Si se elige que el origen del sistema de coordenadas coincida con el vértice d , entonces d = 0 , entonces

V={\frac {|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}{6}},

donde a , b y c representan tres aristas que se encuentran en un vértice, y a · ( b × c ) es un triple producto escalar . Comparando esta fórmula con la utilizada para calcular el volumen de un paralelepípedo , concluimos que el volumen de un tetraedro es igual a1/6del volumen de cualquier paralelepípedo que comparte con él tres aristas convergentes.

El valor absoluto del triple producto escalar se puede representar como los siguientes valores absolutos de los determinantes:

6\cdot V={\begin{Vmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{Vmatrix}}

o donde se expresan como vectores de fila o columna.

6\cdot V={\begin{Vmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \\\mathbf {c} \end{Vmatrix}}

{\begin{cases}\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}),\\\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3}),\\\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3}),\end{cases}}

Por eso

36\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {a^{2}} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b^{2}} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {c^{2}} \end{vmatrix}}

dónde

{\begin{cases}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos {\gamma },\\\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} =bc\cos {\alpha },\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} =ac\cos {\beta }.\end{cases}}

lo que da

V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}},\,

donde α , β , γ son los ángulos planos que ocurren en el vértice d . El ángulo α , es el ángulo entre las dos aristas que conectan el vértice d con los vértices b y c . El ángulo β , lo hace para los vértices a y c , mientras que γ , está definido por la posición de los vértices a y b .

Si no requerimos que d = 0 entonces

6\cdot V=\left|\det \left({\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}&d_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}&d_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}&d_{3}\\1&1&1&1\end{matrix}}\right)\right|\,.

Dadas las distancias entre los vértices de un tetraedro, el volumen se puede calcular utilizando el determinante de Cayley-Menger :

288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}

donde los subíndices i , j ∈ {1, 2, 3, 4} representan los vértices { a , b , c , d } y d _ij es la distancia por pares entre ellos, es decir, la longitud del borde que conecta los dos vértices. Un valor negativo del determinante significa que no se puede construir un tetraedro con las distancias dadas. Esta fórmula, a veces llamada fórmula de Tartaglia , se debe esencialmente al pintor Piero della Francesca en el siglo XV, como un análogo tridimensional de la fórmula de Herón del siglo I para el área de un triángulo. ^[dieciséis]

Sean $a, b, c$ tres aristas que se encuentran en un punto, y $x, y, z$ las aristas opuestas. Sea $V$ el volumen del tetraedro; entonces ^[17]

V={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}X^{2}-b^{2}Y^{2}-c^{2}Z^{2}+XYZ}}{12}}

dónde

{\begin{aligned}X&=b^{2}+c^{2}-x^{2},\\Y&=a^{2}+c^{2}-y^{2},\\Z&=a^{2}+b^{2}-z^{2}.\end{aligned}}

La fórmula anterior utiliza seis longitudes de aristas y la siguiente fórmula utiliza tres longitudes de aristas y tres ángulos.

V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}}

Fórmula tipo garza para el volumen de un tetraedro

Si $U$ , $V$ , $W$ , $u$ , $v$ , $w$ son longitudes de aristas del tetraedro (las tres primeras forman un triángulo; con $u$ opuesta a $U$ , $v$ opuesta a $V$ , $w$ opuesta a $W$ ), entonces ^[18]

V={\frac {\sqrt {\,(-p+q+r+s)\,(p-q+r+s)\,(p+q-r+s)\,(p+q+r-s)}}{192\,u\,v\,w}}

dónde

{\begin{aligned}p&={\sqrt {xYZ}},&q&={\sqrt {yZX}},&r&={\sqrt {zXY}},&s&={\sqrt {xyz}},\end{aligned}}

{\begin{aligned}X&=(w-U+v)\,(U+v+w),&x&=(U-v+w)\,(v-w+U),\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u),&y&=(V-w+u)\,(w-u+V),\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v),&z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}

Divisor de volumen

Cualquier plano que contenga una bimediana (conector de los puntos medios de los bordes opuestos) de un tetraedro biseca el volumen del tetraedro. ^[19]

Volumen no euclidiano

Para los tetraedros en el espacio hiperbólico o en la geometría elíptica tridimensional , los ángulos diédricos del tetraedro determinan su forma y, por tanto, su volumen. En estos casos, el volumen viene dado por la fórmula Murakami-Yano . ^[20] Sin embargo, en el espacio euclidiano, escalar un tetraedro cambia su volumen pero no sus ángulos diédricos, por lo que tal fórmula no puede existir.

Distancia entre los bordes

Dos aristas opuestas cualesquiera de un tetraedro se encuentran en dos líneas oblicuas , y la distancia entre las aristas se define como la distancia entre las dos líneas oblicuas. Sea d la distancia entre las líneas oblicuas formadas por los bordes opuestos a y b − c como se calcula aquí . Luego otra fórmula de volumen viene dada por

V={\frac {d|(\mathbf {a} \times \mathbf {(b-c)} )|}{6}}.

Propiedades análogas a las de un triángulo.

El tetraedro tiene muchas propiedades análogas a las de un triángulo, incluidas una inesfera, una circunsfera, un tetraedro medial y una exesfera. Tiene respectivos centros como incentro, circuncentro, excentros, centro de Spieker y puntos como un centroide. Sin embargo, generalmente no existe un ortocentro en el sentido de altitudes que se cruzan. ^[21]

Gaspard Monge encontró un centro que existe en cada tetraedro, ahora conocido como punto de Monge : el punto donde se cruzan los seis planos medios de un tetraedro. Un plano medio se define como un plano que es ortogonal a una arista que une dos vértices cualesquiera y que también contiene el centroide de una arista opuesta formada al unir los otros dos vértices. Si las altitudes del tetraedro se cruzan, entonces el punto de Monge y el ortocentro coinciden para dar la clase de tetraedro ortocéntrico .

Una línea ortogonal que cae desde el punto Monge hasta cualquier cara se encuentra con esa cara en el punto medio del segmento de línea entre el ortocentro de esa cara y el pie de la altitud caída desde el vértice opuesto.

Un segmento de recta que une un vértice de un tetraedro con el centroide de la cara opuesta se llama mediana y un segmento de recta que une los puntos medios de dos aristas opuestas se llama bimediana del tetraedro. Por tanto, hay cuatro medianas y tres bimedianas en un tetraedro. Estos siete segmentos de línea son todos concurrentes en un punto llamado centroide del tetraedro. ^[22] Además, las cuatro medianas se dividen en una proporción de 3:1 por el centroide (ver el teorema de Commandino ). El centroide de un tetraedro es el punto medio entre su punto Monge y su circuncentro. Estos puntos definen la línea de Euler del tetraedro que es análoga a la línea de Euler de un triángulo.

El círculo de nueve puntos del triángulo general tiene un análogo en la circunsfera del tetraedro medial de un tetraedro. Es la esfera de doce puntos y además de los centroides de las cuatro caras del tetraedro de referencia, pasa por cuatro puntos de Euler sustitutos , a un tercio del camino desde el punto de Monge hacia cada uno de los cuatro vértices. Finalmente pasa por los cuatro puntos base de líneas ortogonales trazadas desde cada punto de Euler hasta la cara que no contiene el vértice que generó el punto de Euler. ^[23]

El centro T de la esfera de doce puntos también se encuentra en la recta de Euler. A diferencia de su contraparte triangular, este centro se encuentra a un tercio del camino desde el punto Monge M hacia el circuncentro. Además, una línea ortogonal que pasa por T hasta una cara elegida es coplanar con otras dos líneas ortogonales que van a la misma cara. La primera es una línea ortogonal que pasa por el punto de Euler correspondiente a la cara elegida. La segunda es una línea ortogonal que pasa por el centroide de la cara elegida. Esta línea ortogonal que pasa por el centro de doce puntos se encuentra a medio camino entre la línea ortogonal del punto de Euler y la línea ortogonal centroidal. Además, para cualquier cara, el centro de doce puntos se encuentra en el punto medio del punto de Euler correspondiente y el ortocentro de esa cara.

El radio de la esfera de doce puntos es un tercio del circunradio del tetraedro de referencia.

Existe una relación entre los ángulos formados por las caras de un tetraedro general dada por ^[24]

{\begin{vmatrix}-1&\cos {(\alpha _{12})}&\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{14})}\\\cos {(\alpha _{12})}&-1&\cos {(\alpha _{23})}&\cos {(\alpha _{24})}\\\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{23})}&-1&\cos {(\alpha _{34})}\\\cos {(\alpha _{14})}&\cos {(\alpha _{24})}&\cos {(\alpha _{34})}&-1\\\end{vmatrix}}=0\,

donde α _ij es el ángulo entre las caras i y j .

La mediana geométrica de las coordenadas de posición del vértice de un tetraedro y su centro isogónico están asociadas, en circunstancias análogas a las observadas para un triángulo. Lorenz Lindelöf encontró que a cualquier tetraedro dado le corresponde un punto ahora conocido como centro isogónico, O , en el cual los ángulos sólidos subtendidos por las caras son iguales, teniendo un valor común de π sr, y en el cual los ángulos subtendidos por las caras opuestas los bordes son iguales. ^[25] Un ángulo sólido de π sr es una cuarta parte del subtendido por todo el espacio. Cuando todos los ángulos sólidos en los vértices de un tetraedro son menores que π sr, O se encuentra dentro del tetraedro, y debido a que la suma de distancias de O a los vértices es mínima, O coincide con la mediana geométrica , M , de los vértices. . En el caso de que el ángulo sólido en uno de los vértices, v , mida exactamente π sr, entonces O y M coinciden con v . Sin embargo, si un tetraedro tiene un vértice, v , con un ángulo sólido mayor que π sr, M todavía corresponde a v , pero O se encuentra fuera del tetraedro.

Relaciones geométricas

Un tetraedro es un 3- simplex . A diferencia del caso de los demás sólidos platónicos, todos los vértices de un tetraedro regular están equidistantes entre sí (son la única disposición posible de cuatro puntos equidistantes en el espacio tridimensional).

Un tetraedro es una pirámide triangular y el tetraedro regular es autodual .

Un tetraedro regular se puede incrustar dentro de un cubo de dos maneras, de modo que cada vértice sea un vértice del cubo y cada arista sea una diagonal de una de las caras del cubo. Para una de esas incrustaciones, las coordenadas cartesianas de los vértices son

(+1, +1, +1);

(-1, -1, +1);

(-1, +1, -1);

(+1, −1, −1).

Esto produce un tetraedro con una longitud de arista 2 √ 2 , centrado en el origen. Para el otro tetraedro (que es dual con respecto al primero), invierte todos los signos. Los vértices de estos dos tetraedros combinados son los vértices de un cubo, lo que demuestra que el tetraedro regular es el 3- demicubo .

El volumen de este tetraedro es un tercio del volumen del cubo. La combinación de ambos tetraedros da un compuesto poliédrico regular llamado compuesto de dos tetraedros o stella octangula .

El interior de la stella octangula es un octaedro , y correspondientemente, un octaedro regular es el resultado de cortar, de un tetraedro regular, cuatro tetraedros regulares de la mitad del tamaño lineal (es decir, rectificar el tetraedro).

La incrustación anterior divide el cubo en cinco tetraedros, uno de los cuales es regular. De hecho, cinco es el número mínimo de tetraedros necesarios para componer un cubo. Para ver esto, partiendo de un tetraedro base con 4 vértices, cada tetraedro agregado suma como máximo 1 nuevo vértice, por lo que se deben agregar al menos 4 más para hacer un cubo, que tiene 8 vértices.

Al inscribir tetraedros dentro del compuesto regular de cinco cubos se obtienen dos compuestos regulares más, que contienen cinco y diez tetraedros.

Los tetraedros regulares no pueden teselar el espacio por sí solos, aunque este resultado parece lo suficientemente probable como para que Aristóteles afirmara que era posible. Sin embargo, dos tetraedros regulares se pueden combinar con un octaedro, dando un romboedro que puede tejar el espacio como el panal tetraédrico-octaédrico .

Sin embargo, se conocen varios tetraedros irregulares, de los cuales se pueden copiar copias del espacio, por ejemplo el ortoesquema característico del cubo y el disfenoide del panal tetraédrico disfenoide . La lista completa sigue siendo un problema abierto. ^[26]

Si uno relaja el requisito de que todos los tetraedros tengan la misma forma, se puede enlosar el espacio usando solo tetraedros de muchas maneras diferentes. Por ejemplo, se puede dividir un octaedro en cuatro tetraedros idénticos y combinarlos nuevamente con dos regulares. (Como nota al margen: estos dos tipos de tetraedros tienen el mismo volumen).

El tetraedro es único entre los poliedros uniformes al no poseer caras paralelas.

Una ley de senos para tetraedros y el espacio de todas las formas de tetraedros.

Un corolario de la ley habitual de los senos es que en un tetraedro con vértices O , A , B , C , tenemos

\sin \angle OAB\cdot \sin \angle OBC\cdot \sin \angle OCA=\sin \angle OAC\cdot \sin \angle OCB\cdot \sin \angle OBA.\,

Se pueden ver los dos lados de esta identidad como correspondientes a las orientaciones de la superficie en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario a las agujas del reloj.

Poner cualquiera de los cuatro vértices en el papel de O produce cuatro de esas identidades, pero como máximo tres de ellas son independientes: si los lados "en el sentido de las agujas del reloj" de tres de ellas se multiplican y se infiere que el producto es igual al producto de "En el sentido contrario a las agujas del reloj" de las mismas tres identidades, y luego se cancelan los factores comunes de ambos lados, el resultado es la cuarta identidad.

Tres ángulos son los ángulos de algún triángulo si y sólo si su suma es 180° (π radianes). ¿Qué condición sobre 12 ángulos es necesaria y suficiente para que sean los 12 ángulos de algún tetraedro? Claramente la suma de los ángulos de cualquier lado del tetraedro debe ser 180°. Dado que hay cuatro triángulos de este tipo, existen cuatro restricciones de este tipo en la suma de los ángulos, y por tanto el número de grados de libertad se reduce de 12 a 8. Las cuatro relaciones dadas por esta ley del seno reducen aún más el número de grados de libertad, de 8 reducido no a 4 sino a 5, ya que la cuarta restricción no es independiente de las tres primeras. Por tanto, el espacio de todas las formas de tetraedros es de 5 dimensiones. ^[27]

Ley de cosenos para tetraedros.

Sean { P ₁ , P ₂ , P ₃ , P ₄ } los puntos de un tetraedro. Sea Δ _i el área de la cara opuesta al vértice Pi y sea θ _{ij el ángulo diédrico entre}_las dos caras del tetraedro adyacentes a la arista Pi _P_j .

La ley de los cosenos para este tetraedro, ^[28] que relaciona las áreas de las caras del tetraedro con los ángulos diédricos alrededor de un vértice, viene dada por la siguiente relación:

\Delta _{i}^{2}=\Delta _{j}^{2}+\Delta _{k}^{2}+\Delta _{l}^{2}-2(\Delta _{j}\Delta _{k}\cos \theta _{il}+\Delta _{j}\Delta _{l}\cos \theta _{ik}+\Delta _{k}\Delta _{l}\cos \theta _{ij})

Punto interior

Sea P cualquier punto interior de un tetraedro de volumen V cuyos vértices son A , B , C y D , y para el cual las áreas de las caras opuestas son F _a , F _b , F _c y F _d . Entonces ^[29]^{: p.62, #1609}

PA\cdot F_{\mathrm {a} }+PB\cdot F_{\mathrm {b} }+PC\cdot F_{\mathrm {c} }+PD\cdot F_{\mathrm {d} }\geq 9V.

Para los vértices A , B , C y D , el punto interior P y los pies J , K , L y M de las perpendiculares desde P a las caras, y supongamos que las caras tienen áreas iguales, entonces ^[29]^{: p.226 , #215}

PA+PB+PC+PD\geq 3(PJ+PK+PL+PM).

radio

Denotando el inradio de un tetraedro como r y los inradios de sus caras triangulares como r _i para i = 1, 2, 3, 4, tenemos ^[29]^{: p.81, #1990}

{\frac {1}{r_{1}^{2}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}+{\frac {1}{r_{3}^{2}}}+{\frac {1}{r_{4}^{2}}}\leq {\frac {2}{r^{2}}},

con igualdad si y sólo si el tetraedro es regular.

Si A ₁ , A ₂ , A ₃ y A ₄ denotan el área de cada cara, el valor de r viene dado por

r={\frac {3V}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}

Esta fórmula se obtiene dividiendo el tetraedro en cuatro tetraedros cuyos puntos son los tres puntos de una de las caras originales y el incentro. Como los cuatro subtetraedros llenan el volumen, tenemos . $V={\frac {1}{3}}A_{1}r+{\frac {1}{3}}A_{2}r+{\frac {1}{3}}A_{3}r+{\frac {1}{3}}A_{4}r$

Circunradio

Denota el circunradio de un tetraedro como R. Sean a , b , c las longitudes de las tres aristas que se encuentran en un vértice, y A , B , C la longitud de las aristas opuestas. Sea V el volumen del tetraedro. Entonces ^[30]^[31]

R={\frac {\sqrt {(aA+bB+cC)(aA+bB-cC)(aA-bB+cC)(-aA+bB+cC)}}{24V}}.

Circuncentro

El circuncentro de un tetraedro se puede encontrar como la intersección de tres planos bisectores. Un plano bisector se define como el plano centrado y ortogonal a un borde del tetraedro. Con esta definición, el circuncentro $C$ de un tetraedro con vértices $x 0$ , $x 1$ , $x 2$ , $x 3$ se puede formular como producto matriz-vector: ^[32]

{\begin{aligned}C&=A^{-1}B&{\text{where}}&\ &A=\left({\begin{matrix}\left[x_{1}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{2}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{3}-x_{0}\right]^{T}\end{matrix}}\right)&\ &{\text{and}}&\ &B={\frac {1}{2}}\left({\begin{matrix}\|x_{1}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{2}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{3}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}

A diferencia del centroide, es posible que el circuncentro no siempre se encuentre en el interior de un tetraedro. De manera análoga a un triángulo obtuso, el circuncentro está fuera del objeto de un tetraedro obtuso.

centroide

El centro de masa del tetraedro se calcula como la media aritmética de sus cuatro vértices, consulte Centroide .

Caras

La suma de las áreas de tres caras cualesquiera es mayor que el área de la cuarta cara. ^[29]^{: p.225, #159}

Tetraedros enteros

Existen tetraedros que tienen longitudes de aristas, áreas de caras y volumen de valores enteros. Estos se denominan tetraedros de Heron . Un ejemplo tiene un borde de 896, el borde opuesto de 990 y los otros cuatro bordes de 1073; dos caras son triángulos isósceles con áreas de436 800 y los otros dos son isósceles con áreas de47 120 , mientras que el volumen es124 185 600 . ^[33]

Un tetraedro puede tener volumen entero y números enteros consecutivos como aristas, siendo un ejemplo el que tiene aristas 6, 7, 8, 9, 10 y 11 y volumen 48. ^[34]

Poliedros y compuestos relacionados

Un tetraedro regular puede verse como una pirámide triangular .

Un tetraedro regular puede verse como un poliedro degenerado, un antiprisma digonal uniforme , donde los polígonos base son digones reducidos .

Un tetraedro regular puede verse como un poliedro degenerado, un trapezoedro digonal dual uniforme , que contiene 6 vértices, en dos conjuntos de aristas colineales.

Un proceso de truncamiento aplicado al tetraedro produce una serie de poliedros uniformes . Truncar aristas hasta puntos produce el octaedro como un tetraedro rectificado. El proceso se completa como una birectificación, reduciendo las caras originales a puntos y produciendo el tetraedro autodual una vez más.

Este poliedro está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros regulares con símbolos de Schläfli {3, n }, que continúan en el plano hiperbólico .

El tetraedro está topológicamente relacionado con una serie de poliedros regulares y mosaicos con figuras de vértices de orden 3 .

Se puede construir un poliedro interesante a partir de cinco tetraedros que se cruzan . Este compuesto de cinco tetraedros se conoce desde hace cientos de años. Aparece regularmente en el mundo del origami . Uniendo los veinte vértices se formaría un dodecaedro regular . Hay formas tanto para zurdos como para diestros , que son imágenes especulares entre sí. La superposición de ambas formas da un compuesto de diez tetraedros , en el que los diez tetraedros están dispuestos como cinco pares de estelas octángulas . Una stella octangula es un compuesto de dos tetraedros en posición dual y sus ocho vértices definen un cubo como su casco convexo.

El hosoedro cuadrado es otro poliedro de cuatro caras, pero no tiene caras triangulares.

El poliedro de Szilassi y el tetraedro son los dos únicos poliedros conocidos en los que cada cara comparte una arista con la otra. Además, el poliedro de Császár (en sí mismo es el dual del poliedro de Szilassi) y el tetraedro son los dos únicos poliedros conocidos en los que cada diagonal se encuentra en los lados.

Aplicaciones

Análisis numérico

En el análisis numérico , las formas tridimensionales complicadas comúnmente se descomponen o aproximan mediante una malla poligonal de tetraedros irregulares en el proceso de establecimiento de ecuaciones para el análisis de elementos finitos, especialmente en la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales . Estos métodos tienen amplias aplicaciones en aplicaciones prácticas en dinámica de fluidos computacional , aerodinámica , campos electromagnéticos , ingeniería civil , ingeniería química , arquitectura e ingeniería naval y campos relacionados.

Ingeniería estructural

Un tetraedro que tiene aristas rígidas es inherentemente rígido. Por este motivo, se utiliza a menudo para reforzar estructuras de pórticos como los spaceframes .

Aviación

En algunos aeródromos , un gran marco en forma de tetraedro con dos lados cubiertos con un material fino está montado sobre un pivote giratorio y siempre apunta hacia el viento. Está construido lo suficientemente grande como para ser visto desde el aire y, a veces, está iluminado. Su finalidad es servir de referencia a los pilotos indicando la dirección del viento. ^[35]

Química

La forma de tetraedro se ve en la naturaleza en moléculas unidas covalentemente . Todos los átomos con hibridación sp 3 están rodeados por átomos (o pares de electrones solitarios ) en las cuatro esquinas de un tetraedro. Por ejemplo, en una molécula de metano ( CH
₄) o un ion amonio ( NH⁺
₄), cuatro átomos de hidrógeno rodean un átomo central de carbono o nitrógeno con simetría tetraédrica. Por este motivo, una de las revistas líderes en química orgánica se llama Tetrahedron . El ángulo central entre dos vértices cualesquiera de un tetraedro perfecto es arccos(-1/3), o aproximadamente 109,47°. ^[5]

agua , h
₂O , también tiene una estructura tetraédrica, con dos átomos de hidrógeno y dos pares de electrones libres alrededor de los átomos de oxígeno centrales. Sin embargo, su simetría tetraédrica no es perfecta porque los pares solitarios se repelen más que los enlaces simples O-H.

Los diagramas de fases cuaternarios de mezclas de sustancias químicas se representan gráficamente como tetraedros.

Sin embargo, los diagramas de fases cuaternarios en la ingeniería de comunicaciones se representan gráficamente en un plano bidimensional.

Electricidad y electrónica.

Si se sueldan seis resistencias iguales para formar un tetraedro, entonces la resistencia medida entre dos vértices cualesquiera es la mitad que la de una resistencia. ^[36]^[37]

Dado que el silicio es el semiconductor más común utilizado en la electrónica de estado sólido , y el silicio tiene una valencia de cuatro, la forma tetraédrica de los cuatro enlaces químicos del silicio influye fuertemente en cómo se forman los cristales de silicio y qué formas adoptan.

Espacio de color

Los tetraedros se utilizan en algoritmos de conversión de espacios de color específicamente para casos en los que el eje de luminancia segmenta diagonalmente el espacio de color (por ejemplo, RGB, CMY). ^[38]

Juegos

El Juego Real de Ur , que data del año 2600 a.C., se jugaba con un juego de dados tetraédricos.

Especialmente en los juegos de rol , este sólido se conoce como dado de 4 caras , uno de los dados poliédricos más comunes , y el número lanzado aparece en el vértice inferior o superior. Algunos rompecabezas parecidos al cubo de Rubik son tetraédricos, como el Pyraminx y el Pyramorphix .

Geología

La hipótesis tetraédrica , publicada originalmente por William Lowthian Green para explicar la formación de la Tierra, ^[39] fue popular hasta principios del siglo XX. ^[40]^[41]

Cultura popular

Stanley Kubrick originalmente pretendía que el monolito de 2001: Una odisea en el espacio fuera un tetraedro, según Marvin Minsky , un científico cognitivo y experto en inteligencia artificial que asesoró a Kubrick sobre la computadora HAL 9000 y otros aspectos de la película. Kubrick descartó la idea de usar el tetraedro porque un visitante que vio imágenes del mismo no reconoció lo que era y no quería nada en la película que la gente común no entendiera. ^[42]

Gráfico tetraédrico

El esqueleto del tetraedro (que comprende los vértices y las aristas) forma un grafo , con 4 vértices y 6 aristas. Es un caso especial del gráfico completo , K ₄ , y del gráfico de rueda , W ₄ . ^[43] Es uno de los 5 gráficos platónicos , cada uno de los cuales es un esqueleto de su sólido platónico .

Ver también

Hélice de Boerdijk-Coxeter
Configuración de Moebius
abrojo
Demihipercubo y simplex – análogos n -dimensionales
Pentacoron - análogo de 4 dimensiones
Sinérgicos (más completos)
Cometa tetraédrica
número tetraédrico
embalaje tetraédrico
Dipirámide triangular : construida uniendo dos tetraedros a lo largo de una cara
tetraedro trirectangular
ortoesquema

Notas

^ Un 3-ortosquema no es un diefenoides, porque sus bordes opuestos no tienen la misma longitud. No es posible construir un diefenide con caras de triángulo rectángulo o triángulo obtuso.
^ Para un k -politopo regular , el diagrama de Coxeter-Dynkin del ortoesquema k característico es el diagrama del k -politopo sin el anillo del punto generador . El k- politopo regular se subdivide por sus elementos de simetría ( k -1) en g instancias de su k -ortosquema característico que rodean su centro, donde g es el orden del grupo de simetría del k -politopo . ^[11]
^ Un politopo regular de dimensión k tiene un k -ortosquema característico , y también un característico ( k -1) -ortosquema. Un poliedro regular tiene un tetraedro característico (ortoesquema 3) en el que está subdividido por sus planos de simetría, y también un triángulo característico (ortoesquema 2) en el que su superficie está subdividida por los ejes de simetría de sus caras. Después de subdividir su superficie en triángulos rectángulos característicos que rodean el centro de cada cara, su interior se puede subdividir en tetraedros característicos agregando radios que unen los vértices de los triángulos rectángulos de la superficie al centro del poliedro. ^[12] Los triángulos interiores así formados serán también triángulos rectángulos.
^ Los 24 tetraedros característicos del tetraedro regular se presentan en dos formas especulares, 12 de cada una.
^ ab (Coxeter 1973) usa la letra griega (phi) para representar uno de los tres ángulos característicos 𝟀, 𝝓, 𝟁 de un politopo regular. Debido a que 𝝓 se usa comúnmente para representar la constante de proporción áurea ≈ 1.618, para la cual Coxeter usa 𝝉 (tau), invertimos las convenciones de Coxeter y usamos 𝝉 para representar el ángulo característico.
^ El ortoesquema característico del cubo es uno de los tetraedros de Hill , una familia de tetraedros que llenan el espacio. Todos los tetraedros que llenan el espacio son congruentes en forma de tijeras con un cubo. Todo poliedro convexo es congruente en tijeras con un ortoesquema. Cada poliedro convexo regular (sólido platónico) se puede diseccionar en un número par de instancias de su ortoesquema característico.
^ El panal tetraédrico-octaédrico llena el espacio alternando células de tetraedro regular y células de octaedro regular en una proporción de 2:1.
^ El diagrama de Coxeter-Dynkin del poliedro generado contiene tres nodos que representan los tres espejos. El ángulo diédrico entre cada par de espejos está codificado en el diagrama, así como la ubicación de un único punto generador que se multiplica por los reflejos del espejo en los vértices del poliedro. Para un poliedro regular, el diagrama de Coxeter-Dynkin del ortoesquema característico generador es el diagrama del poliedro generado sin la marca del punto generador.

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Bibliografía

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enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con el tetraedro .

Weisstein, Eric W. "Tetraedro". MundoMatemático .
Modelos en papel gratuitos de un tetraedro y muchos otros poliedros.
Un tetraedro no regular, que llena el espacio y que también incluye una descripción de un "anillo giratorio de tetraedros", también conocido como caleidociclo .