En geometría , un mosaico pentagonal es un mosaico del plano donde cada pieza individual tiene la forma de un pentágono .
Un mosaico pentagonal regular en el plano euclidiano es imposible porque el ángulo interno de un pentágono regular , 108°, no es divisor de 360°, la medida angular de una vuelta completa . Sin embargo, los pentágonos regulares pueden teselar el plano hiperbólico con cuatro pentágonos alrededor de cada vértice ( o más ) y la esfera con tres pentágonos ; este último produce un mosaico que es topológicamente equivalente al dodecaedro . [1]
Se conocen quince tipos de pentágonos convexos que forman mosaicos monoédricos en el plano (es decir, con un tipo de mosaico). [2] El más reciente se descubrió en 2015. Rao (2017) demostró que esta lista está completa (resultado sujeto a revisión por pares). Bagina (2011) demostró que solo hay ocho tipos convexos de borde a borde , un resultado obtenido de forma independiente por Sugimoto (2012).
En mayo de 2017, Michaël Rao, de la Escuela Normal Superior de Lyon, afirmó haber encontrado la prueba de que, de hecho, no existen pentágonos convexos que se agrupen más allá de estos 15 tipos. [3] El 11 de julio de 2017, la primera mitad de la prueba de Rao había sido verificada de forma independiente (código de computadora disponible [4] ) por Thomas Hales, profesor de matemáticas en la Universidad de Pittsburgh. [5] En diciembre de 2017, la prueba aún no había sido completamente revisada por pares.
Cada familia de mosaicos enumerada contiene pentágonos que no pertenecen a ningún otro tipo; sin embargo, algunos pentágonos individuales pueden pertenecer a varios tipos. Además, algunos de los pentágonos en los tipos de mosaicos conocidos también permiten patrones de mosaico alternativos más allá del mosaico estándar que exhiben todos los miembros de su tipo.
Los lados de longitud a , b , c , d , e están en el sentido de las agujas del reloj desde los ángulos en los vértices A , B , C , D , E respectivamente. (Por lo tanto, A , B , C , D , E son opuestos a d , e , a , b , c respectivamente).
Muchos de estos tipos de teselas monoédricas tienen grados de libertad. Estas libertades incluyen variaciones de ángulos internos y longitudes de aristas. En el límite, las aristas pueden tener longitudes que se acerquen a cero o ángulos que se acerquen a 180°. Los tipos 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 13 permiten posibilidades paramétricas con prototipos no convexos.
Los mosaicos periódicos se caracterizan por su simetría de grupo de papel tapiz ; por ejemplo, p2 (2222) se define por cuatro puntos de giro dobles. Esta nomenclatura se utiliza en los diagramas siguientes, donde los mosaicos también están coloreados por sus posiciones k -isoédricas dentro de la simetría.
Una unidad primitiva es una sección del mosaico que genera todo el mosaico utilizando solo traslaciones y es lo más pequeña posible.
Reinhardt (1918) descubrió los primeros cinco tipos de teselas pentagonales. Los cinco pueden crear teselas isoédricas , lo que significa que las simetrías de la teselación pueden llevar cualquier tesela a cualquier otra tesela (más formalmente, el grupo de automorfismos actúa transitivamente sobre las teselas).
B. Grünbaum y GC Shephard han demostrado que existen exactamente veinticuatro "tipos" distintos de teselados isoédricos del plano por pentágonos según su esquema de clasificación. [6] Todos utilizan teselados de Reinhardt, normalmente con condiciones adicionales necesarias para el teselado. Hay dos teselados por todos los teselados de tipo 2, y uno por todos los de cada uno de los otros cuatro tipos. Quince de los otros dieciocho teselados son por casos especiales de teselados de tipo 1. Nueve de los veinticuatro teselados son de borde a borde. [7]
También hay teselaciones 2-isoédricas por casos especiales de teselas tipo 1, tipo 2 y tipo 4, y teselaciones 3-isoédricas, todas borde con borde, por casos especiales de teselas tipo 1. No hay límite superior en k para teselaciones k-isoédricas por ciertas teselas que son tanto de tipo 1 como de tipo 2, y por lo tanto tampoco en el número de teselas en una unidad primitiva.
Se proporciona la simetría del grupo de papel tapiz para cada mosaico, con la notación orbifold entre paréntesis. Se proporciona un segundo grupo de simetría inferior si existe quiralidad de mosaico , donde las imágenes especulares se consideran distintas. En esos casos, se muestran como mosaicos amarillos y verdes.
Existen muchas topologías de teselación que contienen pentágonos de tipo 1. A continuación se muestran cinco topologías de ejemplo.
Estos ejemplos de tipo 2 son isoédricos. El segundo es una variación de borde a borde. Ambos tienen simetría pgg (22×). Si se consideran distintas las teselas que son imágenes especulares (amarilla y verde), la simetría es p2 (2222).
Kershner (1968) encontró tres tipos más de teselas pentagonales, lo que elevó el total a ocho. Afirmó incorrectamente que esta era la lista completa de pentágonos que pueden teselar el plano.
Estos ejemplos son 2-isoédricos y de borde a borde. Los tipos 7 y 8 tienen pares quirales de mosaicos, que están coloreados como pares en amarillo verdoso y el otro como dos tonos de azul. La simetría pgg se reduce a p2 cuando los pares quirales se consideran distintos.
En 1975, Richard E. James III encontró un noveno tipo, después de leer sobre los resultados de Kershner en la columna " Juegos matemáticos " de Martin Gardner en la revista Scientific American de julio de 1975 (reimpresa en Gardner (1988)). [8] Está indexado como tipo 10. El teselado es 3-isoédrico y no borde con borde.
Marjorie Rice , una matemática aficionada, descubrió cuatro nuevos tipos de pentágonos teselados en 1976 y 1977. [7] [9]
Los cuatro mosaicos son 2-isoédricos. Los pares quirales de mosaicos están coloreados en amarillo y verde para un conjunto isoédrico, y dos tonos de azul para el otro conjunto. La simetría pgg se reduce a p2 cuando los pares quirales se consideran distintos.
El alicatado de las baldosas tipo 9 es borde con borde, no así las demás.
Cada unidad primitiva contiene ocho fichas.
Rolf Stein descubrió en 1985 un decimocuarto tipo de pentágono convexo. [10]
El mosaico es 3-isoédrico y no tiene arista con arista. Tiene teselas completamente determinadas, sin grados de libertad. Las proporciones exactas están especificadas por y el ángulo B es obtuso con . Se pueden deducir fácilmente otras relaciones.
Las unidades primitivas contienen seis fichas respectivamente. Tiene simetría p2 (2222).
Los matemáticos de la Universidad de Washington Bothell Casey Mann , Jennifer McLoud-Mann y David Von Derau descubrieron un decimoquinto pentágono convexo de teselación monoédrica en 2015 utilizando un algoritmo informático . [11] [12] Es 3-isoédrico y no de borde a borde, dibujado con 6 colores, 2 tonos de 3 colores, que representan pares quirales de las tres posiciones isoédricas. La simetría pgg se reduce a p2 cuando los pares quirales se consideran distintos. Tiene teselas completamente determinadas, sin grados de libertad. Las unidades primitivas contienen doce teselas. Tiene simetría pgg (22×) y p2 (2222) si los pares quirales se consideran distintos.
En julio de 2017, Michaël Rao completó una prueba asistida por computadora que muestra que no existen otros tipos de pentágonos convexos que puedan teselar el plano. La lista completa de polígonos convexos que pueden teselar el plano incluye los 15 pentágonos anteriores, tres tipos de hexágonos y todos los cuadriláteros y triángulos. [5] Una consecuencia de esta prueba es que no existe ningún polígono convexo que tesele el plano solo de manera aperiódica, ya que todos los tipos anteriores permiten un teselado periódico.
También se pueden construir teselados pentagonales monoédricos no periódicos, como el ejemplo que aparece a continuación con simetría rotacional séxtuple de Michael Hirschhorn. Los ángulos son A = 140°, B = 60°, C = 160°, D = 80°, E = 100°. [13] [14]
En 2016, Bernhard Klaassen pudo demostrar que cada tipo de simetría rotacional discreta puede representarse mediante un mosaico pentagonal monoédrico de la misma clase de pentágonos. [15] A continuación se muestran ejemplos de simetría quíntuple y séptuple. Dichos mosaicos son posibles para cualquier tipo de simetría rotacional n -pliegue con n >2.
Hay tres teselas pentagonales isoédricas generadas como duales de las teselas uniformes , aquellas con vértices de valencia 5. Representan casos especiales de simetría superior de las 15 teselas monoédricas anteriores. Las teselas uniformes y sus duales son todos borde con borde. Estas teselas duales también se denominan teselas de Laves . La simetría de las teselas duales uniformes es la misma que la de las teselas uniformes. Debido a que las teselas uniformes son isogonales , los duales son isoédricos .
Los mosaicos k -uniformes con vértices de valencia 5 también tienen mosaicos duales pentagonales, que contienen los mismos tres pentágonos con forma que los duales semirregulares anteriores, pero contienen una mezcla de tipos pentagonales. Un mosaico k -uniforme tiene un mosaico dual k -isoédrico y se representan con diferentes colores y tonos de colores a continuación.
Por ejemplo, estos duales 2, 3, 4 y 5-uniformes son todos pentagonales: [18] [19]
Los pentágonos tienen una relación peculiar con los hexágonos. Como se muestra gráficamente a continuación, algunos tipos de hexágonos se pueden subdividir en pentágonos. Por ejemplo, un hexágono regular se divide en dos pentágonos de tipo 1. La subdivisión de hexágonos convexos también es posible con tres (tipo 3), cuatro (tipo 4) y nueve (tipo 3) pentágonos.
Por extensión de esta relación, un plano puede teselarse mediante una única forma de prototipo pentagonal de manera que genere superposiciones hexagonales. Por ejemplo:
Con pentágonos que no necesitan ser convexos , son posibles otros tipos de teselación. Un ejemplo es la teselación de esfinge , una teselación aperiódica formada por una teselación de reptil pentagonal . [20] La esfinge también puede teselar el plano periódicamente, al encajar dos teselas de esfinge para formar un paralelogramo y luego teselar el plano por traslación de este paralelogramo, [20] un patrón que se puede extender a cualquier pentágono no convexo que tenga dos ángulos consecutivos que sumen 2 π .
Es posible dividir un triángulo equilátero en tres pentágonos no convexos congruentes, que se encuentran en el centro del triángulo, y teselar el plano con la unidad de tres pentágonos resultante. [21] Se puede utilizar un método similar para subdividir cuadrados en cuatro pentágonos no convexos congruentes, o hexágonos regulares en seis pentágonos no convexos congruentes, y luego teselar el plano con la unidad resultante.
Un dodecaedro puede considerarse una teselación regular de 12 pentágonos sobre la superficie de una esfera , con símbolo de Schläfli {5,3}, que tiene tres pentágonos alrededor de cada vértice.
También se puede considerar una teselación degenerada por dos hemisferios , con el círculo máximo entre ellos subdividido en cinco arcos iguales, como una teselación pentagonal con símbolo de Schläfli {5,2}.
En el plano hiperbólico , se pueden construir pentágonos regulares que tengan cualquier ángulo interior para . Los pentágonos resultantes forman mosaicos regulares en el plano, con pentágonos alrededor de cada vértice. Por ejemplo, el mosaico pentagonal de orden 4 , {5,4}, tiene cuatro pentágonos rectángulos alrededor de cada vértice. Un caso límite es el mosaico pentagonal de orden infinito {5,∞} producido por pentágonos regulares ideales. Estos pentágonos tienen puntos ideales como sus vértices, con un ángulo igual a cero.
Hay un número infinito de teselados uniformes duales en el plano hiperbólico con caras pentagonales irregulares isogonales . Tienen configuraciones de caras como V3.3.p .3.q .
Una versión del mosaico binario , con sus mosaicos delimitados por segmentos de línea hiperbólicos en lugar de arcos de horociclos , forma mosaicos pentagonales que deben ser no periódicos, en el sentido de que sus grupos de simetría pueden ser unidimensionales pero no bidimensionales. [22]
