Conjetura de torsión

Conjetura en teoría de números

En geometría algebraica y teoría de números , la conjetura de torsión o conjetura de acotación uniforme para puntos de torsión para variedades abelianas establece que el orden del grupo de torsión de una variedad abeliana sobre un campo numérico puede estar acotado en términos de la dimensión de la variedad y el número campo. Una versión más sólida de la conjetura es que la torsión está acotada en términos de la dimensión de la variedad y el grado del cuerpo numérico. La conjetura de la torsión ha quedado completamente resuelta en el caso de curvas elípticas .

Curvas elípticas

De 1906 a 1911, Beppo Levi publicó una serie de artículos investigando los posibles órdenes finitos de puntos en curvas elípticas sobre los racionales. ^[1] Demostró que hay infinitas curvas elípticas sobre los racionales con los siguientes grupos de torsión:

• C _n con 1 ≤ n ≤ 10, donde C _n denota el grupo cíclico de orden n ;
• C12 ;_​
• C _2n × C ₂ con 1 ≤ n ≤ 4, donde × denota la suma directa .

En el Congreso Internacional de Matemáticas de 1908 en Roma, Levi conjeturó que ésta es una lista completa de grupos de torsión para curvas elípticas sobre los racionales. ^[1] La conjetura de torsión para curvas elípticas sobre los racionales fue reformulada de forma independiente por Trygve Nagell  (1952) y nuevamente por Andrew Ogg  (1971), y la conjetura pasó a ser conocida comúnmente como conjetura de Ogg . ^[1]

Andrew Ogg  (1971) trazó la conexión entre la conjetura de torsión para curvas elípticas sobre las racionales y la teoría de las curvas modulares clásicas . ^[1] A principios de la década de 1970, el trabajo de Gérard Ligozat, Daniel Kubert , Barry Mazur y John Tate demostró que varios valores pequeños de n no ocurren como órdenes de puntos de torsión en curvas elípticas sobre las racionales. ^[1] Barry Mazur  (1977, 1978) demostró la conjetura de torsión total para curvas elípticas sobre las racionales. Sus técnicas fueron generalizadas por Kamienny (1992) y Kamienny y Mazur (1995), quienes obtuvieron una acotación uniforme para campos cuadráticos y campos numéricos de grado como máximo 8 respectivamente. Finalmente, Loïc Merel  (1996) demostró la conjetura de curvas elípticas en cualquier campo numérico. ^[1] Demostró para K un campo numérico de grado y una curva elíptica que existe un límite en el orden del grupo de torsión que depende únicamente del grado . Además si es un punto de orden primo tenemos ${\displaystyle d=[K:\mathbb {Q} ]}$ ${\displaystyle E/K}$ ${\displaystyle |E(K)_{\text{tors}}|\leq B(d)}$ ${\displaystyle P\in E(K)_{\text{tors}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\leq d^{3d^{2}}.}$

Parent (1999) dio un límite efectivo para el tamaño del grupo de torsión en términos del grado del campo numérico. Parent demostró que para un punto de orden de potencias primarias tenemos ${\displaystyle P\in E(K)_{\text{tors}}}$ ${\displaystyle p^{n}}$

$${\displaystyle p^{n}\leq B(d,p)={\begin{cases}129(3^{d}-1)(3d)^{6}&{\text{if }}p=2,\\65(5^{d}-1)(2d)^{6}&{\text{if }}p=3,\\65(3^{d}-1)(2d)^{6}&{\text{if }}p>3.\end{cases}}}$$

teorema de Mordell-Weil ${\displaystyle B_{\text{max}}(d)=129(5^{d}-1)(3d)^{6}}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2}}$ ${\displaystyle E(K)_{\text{tors}}\cong \mathbb {Z} /n_{1}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /n_{2}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle B(d)=\left(B_{\text{max}}(d)^{B_{\text{max}}(d)}\right)^{2}.}$

Joseph Oesterlé dio en notas privadas de 1994 un límite ligeramente mejor para puntos de orden primo de , lo que resulta útil para cálculos sobre campos de orden pequeño, pero por sí solo no es suficiente para producir un límite efectivo para . Derickx et al. (2017) proporcionan una versión publicada del resultado de Oesterlé. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\leq (3^{d/2}+1)^{2}}$ ${\displaystyle |E(K)_{\text{tors}}|}$

Para campos numéricos de pequeño grado se conocen resultados más refinados (Sutherland 2012). Se ha proporcionado una lista completa de posibles grupos de torsión para curvas elípticas (ver arriba) y para campos numéricos cuadráticos y cúbicos. En los grados 1 y 2 todos los grupos que surgen ocurren con una frecuencia infinita. Lo mismo se aplica a los campos cúbicos ^[2] excepto para el grupo C ₂₁ que ocurre sólo en una única curva elíptica sobre . Para campos numéricos cuárticos y quínticos se han determinado los grupos de torsión que aparecen con infinitas frecuencias. La siguiente tabla proporciona el conjunto de todos los números primos que realmente surgen como el orden de un punto de torsión donde denota el conjunto de todos los números primos como máximo q (Derickx et al. (2017)). ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\zeta _{9})^{+}}$ ${\displaystyle S(d)}$ ${\displaystyle P\in E(K)_{\text{tors}}}$ ${\displaystyle {\text{Primes}}(q)}$

La siguiente tabla proporciona el conjunto de todos los números primos que surgen infinitamente como el orden de un punto de torsión (Derickx et al. (2017)). ${\displaystyle S'(d)}$

Barry Mazur dio una charla sobre la conjetura de la torsión ^[2] con motivo del establecimiento de la Cátedra Ogg ^[3] en el Instituto de Estudios Avanzados en octubre de 2022.

Ver también

• Conjetura de Bombieri-Lang
• Conjetura de acotación uniforme para puntos preperiódicos
• Conjetura de acotación uniforme para puntos racionales

Referencias

1. Schappacher y Schoof 1996, págs.
2. Balakrishnan, Jennifer S .; Mazur, Barry; Dogra, Netan (10 de julio de 2023). "Conjetura de la torsión de Ogg: cincuenta años después". arXiv : 2307.04752 [matemáticas.NT].
3. "Se establece la cátedra Frank C. y Florence S. Ogg en la IAS". Instituto de Estudios Avanzados . 12 de octubre de 2022 . Consultado el 16 de abril de 2024 .

Bibliografía

• Kamienny, Sheldon (1992). "Puntos de torsión en curvas elípticas y coeficientes de formas modulares". Invenciones Mathematicae . 109 (2): 221–229. Código Bib : 1992 InMat.109..221K. doi :10.1007/BF01232025. SEÑOR  1172689. S2CID  118750444. ${\displaystyle q}$
• Kamienny, Sheldon; Mazur, Barry (1995). "Torsión racional de orden primo en curvas elípticas sobre campos numéricos". Astérisque . 228 . Con un apéndice de A. Granville: 81–100. SEÑOR  1330929.
• Mazur, Barry (1977). "Curvas modulares y el ideal de Eisenstein". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 47 (1): 33–186. doi :10.1007/BF02684339. SEÑOR  0488287. S2CID  122609075.
• Mazur, Barry (1978), "Isogenias racionales de primer grado", Inventiones Mathematicae , 44 (2), con apéndice de Dorian Goldfeld : 129–162, Bibcode :1978InMat..44..129M, doi :10.1007/BF01390348, MR  0482230, S2CID  121987166
• Merel, Loïc (1996). "Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres" [Límites de torsión de curvas elípticas sobre campos numéricos]. Inventiones Mathematicae (en francés). 124 (1): 437–449. Código Bib : 1996 InMat.124..437M. doi :10.1007/s002220050059. SEÑOR  1369424. S2CID  3590991.
• Nagell, Trygve (1952). "Problemas en la teoría de puntos excepcionales en cúbicas planas de género uno". Den 11te Skandinaviske Matematikerkongress, Trondheim 1949, Oslo . Johan Grundt Tanum forlag  [no] . págs. 71–76. OCLC  608098404.
• Ogg, Andrés (1971). "Puntos racionales de orden finito sobre curvas elípticas". Invenciones Mathematicae . 22 (2): 105-111. Código Bib : 1971 InMat..12..105O. doi :10.1007/BF01404654. S2CID  121794531.
• Ogg, Andrés (1973). "Puntos racionales sobre determinadas curvas modulares elípticas". Proc. Síntoma. Matemáticas puras . Actas de simposios de matemática pura. 24 : 221–231. doi :10.1090/pspum/024/0337974. ISBN 9780821814246.
• Padre, Pierre (1999). "Bornes effects pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres" [Límites efectivos para la torsión de curvas elípticas sobre campos numéricos]. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en francés). 1999 (506): 85-116. arXiv : alg-geom/9611022 . doi :10.1515/crll.1999.009. SEÑOR  1665681.
• Schappacher, Norberto ; Schoof, René (1996), "Beppo Levi y la aritmética de curvas elípticas" (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 18 (1): 57–69, doi :10.1007/bf03024818, MR  1381581, S2CID  125072148, Zbl  0849.01036
• Sutherland, Andrew V. (2012). "Subgrupos de torsión de curvas elípticas sobre campos numéricos" (PDF) . math.mit.edu .
• Derickx, Martín; Kamienny, Sheldon; Stein, William; Stoll, Michael (2017). "Puntos de torsión en curvas elípticas sobre campos numéricos de pequeño grado". arXiv : 1707.00364 [matemáticas.NT].