Conjetura de acotación uniforme para puntos racionales

Conjetura matemática sobre puntos racionales en curvas algebraicas

En geometría aritmética , la conjetura de acotación uniforme para puntos racionales afirma que para un cuerpo numérico dado y un entero positivo , existe un número que depende únicamente de y tal que para cualquier curva algebraica definida sobre que tenga género igual a tiene como máximo - puntos racionales . Este es un refinamiento del teorema de Faltings , que afirma que el conjunto de puntos -racionales es necesariamente finito. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle N(K,g)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle N(K,g)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C(K)}$

Progreso

El primer avance significativo hacia la conjetura se debió a Caporaso , Harris y Mazur . ^[1] Ellos demostraron que la conjetura es válida si se asume la conjetura de Bombieri-Lang .

Conjetura de Mazur B

La conjetura B de Mazur es una variante más débil de la conjetura de acotación uniforme que afirma que debería haber un número tal que para cualquier curva algebraica definida sobre que tenga género y cuya variedad jacobiana tenga rango de Mordell-Weil sobre igual a , el número de puntos -racionales de sea como máximo . ${\displaystyle N(K,g,r)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle J_{C}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle N(K,g,r)}$

Michael Stoll demostró que la conjetura B de Mazur es válida para curvas hiperelípticas con la hipótesis adicional de que . ^[2] El resultado de Stoll fue refinado aún más por Katz , Rabinoff y Zureick-Brown en 2015. ^[3] Ambos trabajos se basan en el método de Chabauty . ${\displaystyle r\leq g-3}$

La conjetura B de Mazur fue resuelta por Dimitrov, Gao y Habegger en 2021 utilizando el trabajo anterior de Gao y Habegger sobre la conjetura geométrica de Bogomolov en lugar del método de Chabauty. ^[4]

Referencias

1. Caporaso, Lucia; Harris, Joe; Mazur, Barry (1997). "Uniformidad de puntos racionales". Revista de la Sociedad Americana de Matemáticas . 10 (1): 1–35. doi : 10.1090/S0894-0347-97-00195-1 .
2. Stoll, Michael (2019). "Límites uniformes para el número de puntos racionales en curvas hiperelípticas de pequeño rango de Mordell-Weil". Journal of the European Mathematical Society . 21 (3): 923–956. arXiv : 1307.1773 . doi : 10.4171/JEMS/857 .
3. Katz, Eric; Rabinoff, Joseph; Zureick-Brown, David (2016). "Límites uniformes para el número de puntos racionales en curvas de pequeño rango de Mordell-Weil". Duke Mathematical Journal . 165 (16): 3189–3240. arXiv : 1504.00694 . doi :10.1215/00127094-3673558. S2CID  42267487.
4. Dimitrov, Vessilin; Gao, Ziyang; Habegger, Philipp (2021). "Uniformidad en Mordell–Lang para curvas" (PDF) . Anales de Matemáticas . 194 : 237–298. doi :10.4007/annals.2021.194.1.4. S2CID  210932420.