En teoría de números , la curva modular clásica es una curva algebraica plana irreducible dada por una ecuación
tal que ( x , y ) = ( j ( nτ ), j ( τ )) es un punto de la curva. Aquí j ( τ ) denota el j -invariante .
La curva a veces se llama X 0 ( n ) , aunque a menudo esa notación se utiliza para la curva algebraica abstracta para la que existen varios modelos. Un objeto relacionado es el polinomio modular clásico , un polinomio en una variable definido como Φ n ( x , x ) .
Es importante señalar que las curvas modulares clásicas son parte de la teoría más amplia de las curvas modulares . En particular, tiene otra expresión como cociente compactado del semiplano superior complejo H.
La curva modular clásica, que llamaremos X 0 ( n ) , es de grado mayor o igual a 2 n cuando n > 1 , con igualdad si y sólo si n es primo. El polinomio Φ n tiene coeficientes enteros y, por tanto, está definido en cada campo. Sin embargo, los coeficientes son lo suficientemente grandes como para que el trabajo computacional con la curva pueda resultar difícil. Como polinomio en x con coeficientes en Z [ y ] , tiene grado ψ ( n ) , donde ψ es la función psi de Dedekind . Dado que Φ n ( x , y ) = Φ n ( y , x ) , X 0 ( n ) es simétrico alrededor de la recta y = x y tiene puntos singulares en las raíces repetidas del polinomio modular clásico, donde se cruza a sí mismo en El plano complejo. Estas no son las únicas singularidades, y en particular cuando n > 2 , hay dos singularidades en el infinito, donde x = 0, y = ∞ y x = ∞, y = 0 , que tienen una sola rama y por lo tanto tienen una invariante de nudo. que es un verdadero nudo, y no sólo un eslabón.
Para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16, 18 o 25 , X 0 ( n ) tiene género cero y, por lo tanto, puede parametrizarse [1 ] por funciones racionales. El ejemplo no trivial más simple es X 0 (2) , donde:
es (hasta el término constante) la serie de McKay-Thompson para la clase 2B del Monstruo , y η es la función eta de Dedekind , entonces
parametriza X 0 (2) en términos de funciones racionales de j 2 . En realidad, no es necesario calcular j 2 para utilizar esta parametrización; puede tomarse como un parámetro arbitrario.
Una curva C , sobre Q se llama curva modular si para algún n existe un morfismo sobreyectivo φ : X 0 ( n ) → C , dado por un mapa racional con coeficientes enteros. El famoso teorema de modularidad nos dice que todas las curvas elípticas sobre Q son modulares.
Las asignaciones también surgen en relación con X 0 ( n ), ya que los puntos en él corresponden a algunos n -pares isógenos de curvas elípticas. Una isogenia entre dos curvas elípticas es un morfismo no trivial de variedades (definido por un mapa racional) entre las curvas que también respeta las leyes del grupo y, por lo tanto, envía el punto en el infinito (que sirve como identidad de la ley del grupo) a el punto en el infinito. Tal aplicación es siempre sobreyectiva y tiene un núcleo finito, cuyo orden es el grado de isogenia. Los puntos en X 0 ( n ) corresponden a pares de curvas elípticas que admiten una isogenia de grado n con núcleo cíclico.
Cuando X 0 ( n ) tiene género uno, será isomorfa a una curva elíptica, que tendrá el mismo j -invariante .
Por ejemplo, X 0 (11) tiene j -invariante −2 12 11 −5 31 3 y es isomorfa a la curva y 2 + y = x 3 − x 2 − 10 x − 20 . Si sustituimos este valor de j por y en X 0 (5) , obtenemos dos raíces racionales y un factor de grado cuatro. Las dos raíces racionales corresponden a clases de curvas de isomorfismo con coeficientes racionales que son 5-isógenos a la curva anterior, pero no isomórficos, y tienen un campo funcional diferente. Específicamente, tenemos los seis puntos racionales: x=-122023936/161051, y=-4096/11, x=-122023936/161051, y=-52893159101157376/11, y x=-4096/11, y=-52893159101157376/ 11, más los tres puntos que intercambian x e y , todos en X 0 (5) , correspondientes a las seis isogenias entre estas tres curvas.
Si en la curva y 2 + y = x 3 − x 2 − 10 x − 20 , isomorfa a X 0 (11) sustituimos
y factorizar, obtenemos un factor extraño de una función racional de x , y la curva y 2 + y = x 3 − x 2 , con j -invariante −2 12 11 −1 . Por tanto, ambas curvas son modulares de nivel 11 y tienen asignaciones de X 0 (11) .
Según un teorema de Henri Carayol, si una curva elíptica E es modular entonces su conductor , un invariante de isogenia descrito originalmente en términos de cohomología , es el entero más pequeño n tal que exista una aplicación racional φ : X 0 ( n ) → E. Como ahora sabemos que todas las curvas elípticas sobre Q son modulares, también sabemos que el conductor es simplemente el nivel n de su parametrización modular mínima.
La teoría de Galois de la curva modular fue investigada por Erich Hecke . Considerada como un polinomio en x con coeficientes en Z [ y ] , la ecuación modular Φ 0 ( n ) es un polinomio de grado ψ ( n ) en x , cuyas raíces generan una extensión de Galois de Q ( y ) . En el caso de X 0 ( p ) con p primo, donde la característica del campo no es p , el grupo de Galois de Q ( x , y )/ Q ( y ) es PGL(2, p ) , el proyectivo lineal general grupo de transformaciones fraccionarias lineales de la recta proyectiva del campo de p elementos, que tiene p + 1 puntos, el grado de X 0 ( p ) .
Esta extensión contiene una extensión algebraica F / Q donde si en la notación de Gauss entonces:
Si ampliamos el campo de constantes para que sea F , ahora tenemos una extensión con el grupo de Galois PSL(2, p ) , el grupo lineal especial proyectivo del campo con p elementos, que es un grupo finito simple. Al especializar y en un elemento de campo específico, podemos, fuera de un conjunto reducido, obtener una infinidad de ejemplos de campos con el grupo de Galois PSL (2, p ) sobre F y PGL(2, p ) sobre Q.
Cuando n no es primo, los grupos de Galois pueden analizarse en términos de los factores de n como producto corona .
