Conjetura de Bombieri-Lang

En geometría aritmética , la conjetura de Bombieri-Lang es un problema no resuelto conjeturado por Enrico Bombieri y Serge Lang sobre la densidad de Zariski del conjunto de puntos racionales de una variedad algebraica de tipo general .

Declaración

La conjetura débil de Bombieri-Lang para superficies establece que si es una superficie suave de tipo general definida sobre un cuerpo de números , entonces los puntos -racionales de no forman un conjunto denso en la topología de Zariski en . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

La forma general de la conjetura de Bombieri-Lang establece que si es una variedad algebraica de dimensión positiva de tipo general definido sobre un cuerpo de números , entonces los puntos -racionales de no forman un conjunto denso en la topología de Zariski. ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$

La forma refinada de la conjetura de Bombieri-Lang establece que si es una variedad algebraica de tipo general definida sobre un cuerpo numérico , entonces existe un subconjunto denso abierto de tal que para todas las extensiones de cuerpo numérico sobre , el conjunto de puntos -racionales en es finito. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k'}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k'}$ ${\displaystyle U}$

Historia

La conjetura de Bombieri-Lang fue planteada independientemente por Enrico Bombieri y Serge Lang. En una conferencia de 1980 en la Universidad de Chicago , Enrico Bombieri planteó un problema sobre la degeneración de puntos racionales para superficies de tipo general. ^[1] Independientemente, en una serie de artículos que comenzaron en 1971, Serge Lang conjeturó una relación más general entre la distribución de puntos racionales y la hiperbolicidad algebraica , ^{[1] [5] [6] [7]} formulada en la "forma refinada" de la conjetura de Bombieri-Lang. ^[4]

Generalizaciones e implicaciones

La conjetura de Bombieri-Lang es un análogo para las superficies del teorema de Faltings , que establece que las curvas algebraicas de género mayor que uno solo tienen un número finito de puntos racionales. ^[8]

Si fuera cierta, la conjetura de Bombieri-Lang resolvería el problema de Erdős-Ulam , ya que implicaría que no existen subconjuntos densos del plano euclidiano cuyas distancias por pares sean racionales. ^{[8] [9]}

En 1997, Lucia Caporaso , Barry Mazur , Joe Harris y Patricia Pacelli demostraron que la conjetura de Bombieri-Lang implica una conjetura de acotación uniforme para puntos racionales : hay una constante que depende solo de y tal que el número de puntos racionales de cualquier curva de género sobre cualquier cuerpo de números de grado es como máximo . ^{[2] [3]} ${\displaystyle B_{g,d}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle B_{g,d}}$

Referencias

1. Das, Pranabesh; Turchet, Amos (2015), "Invitación a puntos integrales y racionales en curvas y superficies", en Gasbarri, Carlo; Lu, Steven; Roth, Mike; Tschinkel, Yuri (eds.), Puntos racionales, curvas racionales y curvas holomorfas enteras en variedades proyectivas , Contemporary Mathematics, vol. 654, American Mathematical Society, págs. 53–73, arXiv : 1407.7750
2. Poonen, Bjorn (2012), Acotación uniforme de puntos racionales y puntos preperiódicos , arXiv : 1206.7104
3. Conceição, Ricardo; Ulmer, Douglas ; Voloch, José Felipe (2012), "Ilimitación del número de puntos racionales en curvas sobre cuerpos de funciones", New York Journal of Mathematics , 18 : 291–293
4. Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), "F.5.2. La conjetura de Bombieri–Lang", Geometría diofántica: una introducción , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 201, Springer-Verlag, Nueva York, págs. 479–482, doi :10.1007/978-1-4612-1210-2, ISBN 0-387-98975-7, Sr.  1745599
5. Lang, Serge (1971), "Números trascendentales y aproximaciones diofánticas", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , vol. 77, núm. 5, págs. 635–678, doi : 10.1090/S0002-9904-1971-12761-1 , ISSN  0002-9904
6. Lang, Serge (1974), "Problemas diofánticos de dimensiones superiores", Bulletin of the American Mathematical Society , vol. 80, núm. 5, págs. 779–788, doi : 10.1090/S0002-9904-1974-13516-0 , ISSN  0002-9904
7. Lang, Serge (1983), Fundamentos de la geometría diofántica , Nueva York: Springer-Verlag , pág. 224, ISBN 0-387-90837-4
8. Tao, Terence (20 de diciembre de 2014), "El problema de Erdos-Ulam, variedades de tipo general y la conjetura de Bombieri-Lang", Novedades
9. Shaffaf, Jafar (mayo de 2018), "Una solución del problema de Erdős–Ulam en conjuntos de distancias racionales asumiendo la conjetura de Bombieri–Lang", Geometría discreta y computacional , 60 (8), arXiv : 1501.00159 , doi :10.1007/s00454-018-0003-3